Demande probabiliste

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  • zestiria
    zestiria
    1) $B= (p-c) Q \mathbb{1}_{ X \geq Q} + (p-c) \mathbb{1}_{X<Q} - Qc \mathbb{1}_{X=0}=(p-c) Q \mathbb{1}_{ X \geq Q} + (p-c) \mathbb{1}_{X<Q} $
  • zestiria
    zestiria
    2) $EB= (p-c)Q ( 1-F(Q))+ (p-c)F(Q)$
  • lourrran
    lourrran
    J'ai un peu de mal avec la fonction indicatrice $1_{X<Q}$ , mais, je pense qu'il y a un loup dans ta réponse à la question 1.
    Ma prof de physique de 2nde disait : une formule doit être homogène : par exemple, une vitesse multipliée par une durée, ça donne une distance.
    Et dans une formule, si on a une distance à gauche du signe =, il faut s'assurer qu'on a aussi une distance à droite du signe =

    Ici, on a des prix au kilo, ou des prix au gramme ... ce sont p et c
    On a des nombres de kilo ou des nombres de grammes : Q
    Et on a des montants en euros : B

    $p-c$, c'est en €/kg
    $1_{X<Q}$ , c'est un nombre sans unité,
    Donc $(p-c)1_{X<Q}$ , c'est en €/kg
    Alors que $B$, c'est en €

    D'ailleurs ta formule peut se factoriser : $B=(p-c)(Q+1)1_{X<Q}$
    Et là, on voit apparaître ce Q+1 qui n'est pas homogène : on additionne Q qui est un nombre de kilogrammes ou de grammes, et 1 qui est un nombre sans unité.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • zestiria
    zestiria
    4) $\dfrac{X_T}{T} \to 0$ ps

    $\dfrac{X_T}{T} \to \mathcal{N}(0,\sigma^2)$
    $\dfrac{X_T}{T} \to \sigma^2 \chi(2)$ loi image
  • zestiria
    zestiria
    5) $EX_T=0$ somme de variables centrées

    $T^2 \bar{X_T}^2 = ( \sum_{i=0}^{T-1} \sum_{j=0}^{i} U_j)^2= T^2 U_0 + (T-1)U_1^2 + \dots U_{T-1}^2 + \sum_{i=0}^{T-1} \sum_{j=0}^{i-1}U_i U_j$ en passant à l'espérance, $T^2 E\bar{X_T}^2 = \dfrac{T(T+1)(2T+1)}{6} \sigma^2$, d'où
    $$
    V \bar{X_T}^2 = \dfrac{(T+1)(2T+1)}{6T} \sigma^2.

    $$ $\bar{X_T}^2$ ne peut pas converger dans $L^2$ vers une constante car sa variance tend vers l'infini en $T$
  • zestiria
    zestiria
    @lourran : je vais reprendre cette question.
  • zestiria
    zestiria
    6)

    $\dfrac{ \bar{X_T} } { \sqrt{T} }= \dfrac{U_0}{ \sqrt{T} } + \mathcal{N} ( 0 , \sigma^2 \dfrac{(T-1)T (2T-1)}{6 T^3})$

    On a convergence vers une $ \mathcal{N} ( 0, \dfrac{ \sigma^2}{3} ) $.
  • zestiria
    zestiria
    2) @lourran Il y avait une erreur.

    $
    \begin{align*}
    B &= p Q \mathbb{1}_{X>Q} + p X \mathbb{1}_{X<Q} - cQ \\
    B&= p Q ( 1- \mathbb{1}_{X<Q} ) + pX \mathbb{1}_{X<Q} -c Q \\
    B&=(p-c) Q + p ( X \mathbb{1}_{X<Q}- Q \mathbb{1}_{X<Q} ) \\
    \end{align*}
    $
  • zestiria
    zestiria
    3)

    $
    \begin{align*}
    EB &= (p-c)Q + p E(X \mathbb{1}_{X<Q}) - pQ E(\mathbb{1}_{X<Q}) \\
    EB&= (p-c) Q + p \int_{0}^Q t f(t) dt - pQ F(Q) \\
    \psi(q)&:= (p-c) Q + p \int_{0}^q t f(t) dt - pq F(q) \\
    \psi'(q)&=p-c + p q f(q) - pqf(q)- pF(q)\\
    \psi'(q)&= p-c - p F(q)\\
    F(q)&= \dfrac{p-c}{p}\\
    q^\star &= F^{-1} ( \dfrac{p-c}{p} ) \\
    \end{align*}
    $

    La quantité optimale dépend de la marge.
  • zestiria
    zestiria
    Pour la question 7), qu'est-ce qu'il faut faire ?
    J'ai aussi posé la question ici.

    Cela clôt le fil.
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