Marche aléatoire sur $\Z$ (agreg interne)
Bonjour à tous
Je suis tout nouveau sur le forum et c'est la première fois que je poste, mais je lis régulièrement vos divers interventions, particulièrement sur cette section puisque je prépare l'agrégation interne.
Je réfléchis en ce moment sur la leçon 437 : "exercices faisant intervenir des variables aléatoires" et je suis tombé sur un exercice tiré du livre "exercices de mathématiques" de Thierry Dugardin, en pièce jointe à ce message.
Je bloque à la question 3a) : il est dit dans la solution que les variables aléatoires Xi étant indépendantes, la probabilité considérée ne dépend pas de n, mais je ne comprends pas vraiment l'argument utilisé. J'ai essayé d'utiliser le fait que si (X_1 ; .... ; X_k) et (Y_1 ; ... ; Y_l) sont k + l variables aléatoires discrètes et indépendantes, alors f(X_1, ...., X_k) et g(Y_1, ..., Y_l) le sont aussi.
Seulement ici, en réécrivant l'évènement comme une intersection, on obtient X_n+1 non nul et X_n+1 + X_n+2 non nul etc... Mais je ne vois pas comment utiliser l'argument au dessus, ni d'ailleurs si c'est grâce à celui ci qu'on peut conclure.
Si quelqu'un a une idée ?
Merci.
Je suis tout nouveau sur le forum et c'est la première fois que je poste, mais je lis régulièrement vos divers interventions, particulièrement sur cette section puisque je prépare l'agrégation interne.
Je réfléchis en ce moment sur la leçon 437 : "exercices faisant intervenir des variables aléatoires" et je suis tombé sur un exercice tiré du livre "exercices de mathématiques" de Thierry Dugardin, en pièce jointe à ce message.
Je bloque à la question 3a) : il est dit dans la solution que les variables aléatoires Xi étant indépendantes, la probabilité considérée ne dépend pas de n, mais je ne comprends pas vraiment l'argument utilisé. J'ai essayé d'utiliser le fait que si (X_1 ; .... ; X_k) et (Y_1 ; ... ; Y_l) sont k + l variables aléatoires discrètes et indépendantes, alors f(X_1, ...., X_k) et g(Y_1, ..., Y_l) le sont aussi.
Seulement ici, en réécrivant l'évènement comme une intersection, on obtient X_n+1 non nul et X_n+1 + X_n+2 non nul etc... Mais je ne vois pas comment utiliser l'argument au dessus, ni d'ailleurs si c'est grâce à celui ci qu'on peut conclure.
Si quelqu'un a une idée ?
Merci.
Réponses
-
J'ai écrit de bêtises !
(td)
W. -
Désolé d'être désagréable, mais, là, vraiment, tu n'aides pas du tout Menmou, Wronskien ! :-?
Ce que tu racontes fait un contresens par ligne ! -
Désolé,
Je vois les erreurs... vais essayer de rédiger plus proprement... le clavier du téléphone n'aide pas...
W. -
Le corrigé n'explique rien. C'est une blague ce corrigé pour la question 3.a.
-
La question est assez intuitive. Si on veut la traiter rigoureusement, c'est assez conceptuel, je trouve... Je ne suis pas sûr que les notions soient vraiment au programme.
C'est pour ça que l'énoncé ne demande pas "démontrer", mais "expliquer", je pense.
Quand, moi, j'écris la consigne "expliquer" au lieu de "montrer" voire de "justifier", c'est qu'en mon âme et conscience, je considère que c'est un peu raide comme question et que "tout élément de réflexion pertinente sera valorisé".
Donc bon là, ce qu'il faut expliquer, c'est la marche de Bernoulli est invariante en loi par troncation des $n$ premières valeurs.
Après, comment rédiger ça à un niveau d'agreg interne... C'est un exercice de pédagogie ! -
Merci pour les retours !
Pour te répondre marsup, c'est vrai que l'intuition va dans ce sens, mais je me dis que ce n'est pas très rigoureux. Par contre ta remarque sur la formulation de l'énoncé est pertinente. Tu aurais une référence qui explique l'invariance dont tu parles ? -
La marche de Bernoulli, c'est une suite $(X_i)_{i\ge i_0}$, où $i_0=0$ ou $1$, selon le goût de chacun, avec 2 hypothèses :
- toutes de loi $B(p)$,
- mutuellement indépendantes.
On regarde $(Y_i) = (X_{i+n})$, en commençant pareil à $i_0=0;1$.
Bon, la première propriété, est encore vérifiée.
Et en fait, ce qu'il faut bien comprendre, c'est que l'indépendance mutuelle pour une suite infinie, c'est une propriété qui porte sur toutes les sous-suites extraites finies. Cette propriété est donc structurellement stable par extraction.
Bon, dans ton cas, c'est la marche de Rademacher (Bernoulli, mais en version centrée, et pour $p=\frac{1}{2}$, mais ça ne change rien à cette propriété).
Le truc, c'est que cet exemple est tellement fondamental en probas qu'il a largement été généralisé de plusieurs façons.
Ça donne :
la théorie générale des chaînes de Markov (homogènes, en particulier) à temps discret,
le mouvement Brownien,
le processus de Poisson,
les martingales, tout ce que tu veux.
Cette situation est l'exemple canonique des probas. C'est comme la fonction exponentielle en analyse, ou le produit scalaire en géométrie.
Donc, tout ça pour dire que, non, je n'ai pas spécialement de référence, mais si tu trouves un cours de chaînes de Markov/processus stochastiques à un niveau qui te convient, eh bien, ça te confirmera toutes les idées sur ce processus. -
Marsup j'ai croisé les espaces de Rademacher dans ce sujet difficile : Théorème de Komlos
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