Temps d'atteinte brownien

Fulgrim · April 2021

Bonjour à tous,
Je suis face au problème suivant.

Soit $B_t$ un mouvement brownien standard, $I:=[0,1]$ et pour tout entiers naturels $n>0$ et $i < 2^n$ on définit les sous-intervalles $I_i^n := [\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}[$. Enfin on note
$$p_n(i):= \mathbb{P}(B_s = 0 ,\text{ sur } I_i^n),
$$ la probabilité que le brownien touche $0$ quelque part sur $I_i^n$. Montrer que $\exists K$ universel tel que
$$p_n(i) \leq \dfrac{K}{\color{red}{\sqrt{i+1}}}.

$$ Quelqu'un aurait une idée / indication ?
Merci

Edit : en rouge.

Lucas · April 2021

Bonjour,

Déjà tu peux remarquer que cette probabilité ne dépend effectivement pas de $n$ car cela revient (par invariance en temps du Brownien par un facteur $2^n/i$) à demander que $B$ ne s'annule pas sur l'intervalle $[1,1+1/i]$.

Ensuite je pense que ça marche en découpant suivant que l'événement $\{|B_1|>a\}$ (pour $a$ bien choisi) est réalisé ou non.

[Edit : en bricolant des calculs je n'arrive toutefois pas à une inégalité aussi bonne en $i$ que celle que tu cherches à démontrer.]

Fulgrim · April 2021

Merci pour ton aide, j'ai trouvé une preuve que je mets en pièce-jointe au cas où ça intéresse quelqu'un !
C'est du calcul assez bourrin. 120410

Fulgrim · April 2021

J'ai aussi trouvé une deuxième preuve, en m'aidant du résultat qu'on peut dériver de [Falconer, Fractal Geometry, Prop 16.1] que je mets en pièce-jointe.
Mais je trouve cette preuve trop "facile" pour être vraie. Quelqu'un pourrait me donner son avis ?

Je sais que, en utilisant la propriété d'échelle du brownien, comme dans la preuve précédente :
$$B_t = 0 \text{ sur } I^n_i \qquad \Leftrightarrow \qquad B_t = 0 \text{ sur } [i,i+1].
$$ De plus
$$B_t = 0 \text{ sur } [i,i+1] \qquad \Rightarrow \qquad |B_i| \leq \sup_{\varepsilon\leq 1} |B_{i+\varepsilon} - B_i|.
$$ Alors, en prenant $\lambda < 1/2$, d'après la proposition de [Falconer], presque sûrement il existe $c_\lambda$ tel que $\sup_{\varepsilon\leq 1} |B_{i+\varepsilon} - B_i| \leq c_\lambda 1^\lambda$. Ainsi on a
$$p_n(i) \leq \mathbb{P}(|B_i|\leq c_\lambda) = \mathbb{P}(|B_1| \leq \dfrac{c_\lambda}{\sqrt{i}}) \leq \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \dfrac{c_\lambda}{\sqrt{i}}.

$$ CQFD, qu'en pensez-vous ? 120412

Lucas · April 2021

Bonjour
Il y a un petit souci dans l'utilisation du résultat de Falconer : il me semble que soit $H_0$ soit $b$ doit être aléatoire sinon ça voudrait dire que le mouvement brownien sur un intervalle est majoré par une constante.

Je pense que ta preuve est manuscrite doit être correcte mais... tu as eu la présence d'esprit de choisir une résolution suffisamment basse pour que personne ne puisse vérifier! ;-)

Fulgrim · April 2021

Ah voilà $H_0$ était aléatoire ça m'avait échappé ! Merci :-D

Bizarre, en cliquant sur l'image, puis en faisant clic-droit + "afficher l'image", je peux zoomer sur ordinateur. Je ne vois pas comment l'uploader mieux ^^"

Lucas · April 2021

En plissant les yeux et en sortant ma loupe j'ai réussi à lire ce que tu as écrit. De loin ça ressemble à ce que j'avais gribouillé mais du coup comme moi tu ne trouves qu'une majoration en $C/\sqrt{i}$ c'est bien ça? Tu ne voulais pas mieux ? (Je pense quand même que l'inégalité en $C/i$ doit être fausse.)

Par ailleurs, comment fais-tu pour contrôler le temps d'atteinte du Brownien? Moi j'ai utilisé une inégalité maximale mais j'ai l'impression que toi tu as utilisé la loi explicite (du coup il doit y avoir un problème de valeur absolue ou un facteur 2 qui manque avec une inégalité au lieu de l'égalité?).

Fulgrim · April 2021

Je viens de remarquer que j'avais oublié la racine dans mon tout premier post...........:)o
J'ai joint un zoom de mes calculs, mais je pense que du coup on a fait les mêmes !
Désolé ! 120424