Deux densités égales

Soient $f,g$ deux fonctions de $L^1(\R)$. Soit $A:=\{x\in R \mid f(x) > g(x)\}$. Alors $A = \bigcup_{n\in \N} A_n$ où $A_n:=\{x\in \R \mid f(x)-g(x) \geq 2^{-n}\}$ et $\mu(A_n)\leq 2^n \int_{A_n} f(x)-g(x)dx$ par l'inégalité de Markov/Bienaymé-Tchebychev.

Si $\int_B f = \int_B g$ pour toute partie mesurable $B$ (ce qui est le cas si $f$ et $g$ sont des densités de V.A. égales en loi), alors $\mu(A_n)=0$. Donc $\mu(A)=0$. Donc $f\leq g$ pp.
En changeant l'inégalité par symétrie, $f \geq g $ pp et donc $f=g$ pp.

Enfin, en tout cas, sous cette hypothèse, toute densité de l'une est une densité de l'autre !

Pensez vous, pour $u,v\in \C^*$, qu'on a l'implication : $$u = v \Longrightarrow \ln(u) = \ln(v) \quad ?$$