3) $\overline{X_n} \to^{p} \theta$ et $ S_n^2 \to ^p \sigma^2$, comme $\hat{\lambda_n}$ est une fonction continue des deux précédents estimateurs , obtenue par plug-in, on a bien convergence en proba de $\hat{\lambda_n}$ vers $\lambda$.
4) $S^2 \sim \frac{1}{n-1} \chi(n-1) \dfrac{n-1}{n} $ tend en loi
vers une $\mathcal{N}(\sigma^ 2, \dfrac{ 2\sigma^4}{n-1})$ car une $\chi(n-1)$ est une somme de $n-1$ variables indépendantes suivant une $\chi(1)$.
$\sigma^2=\dfrac{ \theta^4}{ \lambda \theta^2 + 1 - \lambda} $ donc sous $H_0$ , on devrait avoir $\sigma^2 = \theta^4$
comme $S_n^2 \sim \mathcal{N}( \sigma^2, \dfrac{2 \theta^4}{n-1})$, sous $H_0$, on devrait avoir $ \dfrac{ S_n^2}{ \theta^2} \sim N(\theta^2, \dfrac{2}{n-1} )$
Finalement $T= \dfrac{S_n^2}{ \theta^2} -\theta^2 \sim \mathcal{N} ( 0 , \dfrac{2}{n-1} )$, ce qui donne la zone de rejet.
Réponses
$
\begin{cases}
\mu&= \dfrac{b}{2a} \\
\sigma^2 &= \dfrac{1}{2a}\\
\end{cases}
$
$
\begin{align*}
\dfrac{\lambda (x - \theta)^2}{2 \theta ^2} + (1 - \lambda) \dfrac{ (x - \theta)^2}{2 \theta^4} &=
\dfrac{\lambda \theta^2 + 1 - \lambda}{2 \theta^4} x^2 - \dfrac{ \lambda \theta^2 + 1 - \lambda}{ \theta^3} \\
\end{align*}
$
\begin{cases}
\mu&= \theta \\
\sigma^2&=\dfrac{ \theta^4}{ \lambda \theta^2 + 1 - \lambda} \\
\end{cases}
$A(\lambda, \theta)= \dfrac{1}{ \sqrt{2\pi}} \dfrac{ \sqrt{ \lambda \theta^2 + 1 - \lambda } } { \theta^2 }$
L'emv pour un échantillon de gaussiennes $(\theta, \sigma^2)$ vaut $ \hat{\theta }_n = \overline{X_n}$ et $\hat{ \sigma^2}=S_n^2$, donc
$$ \hat {\lambda_n } = \dfrac{S_n^2 \overline{X_n}^4 -1 }{\overline{X_n}^2 -1}$$
Pour cela, on se sert de 4a)
vers une $\mathcal{N}(\sigma^ 2, \dfrac{ 2\sigma^4}{n-1})$ car une $\chi(n-1)$ est une somme de $n-1$ variables indépendantes suivant une $\chi(1)$.
$\hat{\lambda} \sim \mathcal{N} \left( \dfrac{ \sigma^2 \theta^4-1}{ \theta^2-1} , \dfrac{ 2 \sigma ^4 \theta^8}{ ( \theta^2-1) ^2 (n-1)} \right) $
comme $S_n^2 \sim \mathcal{N}( \sigma^2, \dfrac{2 \theta^4}{n-1})$, sous $H_0$, on devrait avoir $ \dfrac{ S_n^2}{ \theta^2} \sim N(\theta^2, \dfrac{2}{n-1} )$
Finalement $T= \dfrac{S_n^2}{ \theta^2} -\theta^2 \sim \mathcal{N} ( 0 , \dfrac{2}{n-1} )$, ce qui donne la zone de rejet.
$W =\{ \sqrt{ \dfrac{n-1}{2 } } ( \dfrac{ S_n^2}{ \overline{X_n} ^2} -\overline{X_n} ^2) < - q_{ \frac{\alpha}{2} } \cup \sqrt{ \dfrac{n-1}{2 } } ( \dfrac{ S_n^2}{\overline{X_n} ^2} -\overline{X_n} ^2 ) > q_{ \frac{\alpha}{2} } \}$
Le résultat précédent prouve la normalité asymptotique de $\lambda_n$ mais c'est peu maniable.
$T= \sqrt{ \dfrac{n-1}{2} } \left( \dfrac{S_n^2}{\theta^2} - \theta^2 \right) = U + \delta $ où $U \sim \N(0,1)$ sous $H_1$ et $\delta= \sqrt{ \dfrac{n-1}{2} } ( 1 - \theta^2 ) $
Donc $W = \{ U <- q_{\frac{\alpha}{2} } - \delta \cup U > q_{\frac{\alpha}{2} } - \delta \}$
puissance du test $\Phi(- q_{\frac{\alpha}{2} } - \delta) + 1- \Phi( q_{\frac{\alpha}{2} } - \delta) $
$\delta \to \infty$ donc le test est convergent.