Intégrale de Lebesgue

Bonjour,
J'ai trouvé un nouveau problème dans un exercice sur l'intégrale de Lebesgue. J'ai un peu essayé mais je n'avance plus.

Soit $f:[0, 1]\longrightarrow\mathbb{R}$ une fonction définie par $f(x)=0$ si $x\in\mathbb{Q}$ et $f(x)=\displaystyle{\frac{1}{a}}$ si $x\notin\mathbb{Q}$, où $a$ est le premier digit non null de la représentation décimale de $x$. Montrer que $f$ est Lebesgue intégrable et calculer la valeur de l'intégrale.

Premièrement, il est clair que $\mathbb{Q}$ est de mesure nulle à cause d'être un ensamble dénombrable.
Puis, si $f,g$ sont deux fonctions mesurables où $f(x)=g(x)$ sur $X\setminus B$ et $\mu(B)=0$, alors $f(x)=g(x)$ presque partout et nous avons que $\int fd\mu=\int gd\mu$.


C'est tout ce que j'ai pu faire (appliquer des définitions et propositions). Peut-être que l'on peut construire une fonction $g(x)=\sum_{k=1}^{n} k\chi_{[1,9]}$ mesurable et simple (car elle est mesurable) sur l'intervalle. J'ai spécialement des problèmes pour définir l'intervalle et j'ai pensé à $[1,9]$ car ce sont les possibles digits non nuls mais, personellement, je trouve que mon idée est pénible.

Je vous remercie toute sorte d'aide !