Proba dans le triangle équilatéral

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dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour, soit $\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}$ et $T$ le triangle équilatéral avec sommets $1,\omega,\omega^2$.
Soit $X+iY,\; X,Y\in \mathbb R$ une v.a. uniformément distribuée dans $T$ (par rapport à la mesure de Lebesgue).
Il faut
  1. Donner la loi de $(X,Y)$
  2. Donner la covariance de $X$ et $Y$
  3. Dire si $X$ et $Y$ sont indépendants
Pour la (i) si on identifie $\mathbb C$ à $\mathbb R^2$ on trouve simplement que $\mathbb P((X,Y)\in A)=\frac{\lambda(A\cap T)}{\lambda(T)}=\frac{\lambda(A\cap T)}{\frac{3\sqrt 3}{4}}$.

Pour les autres je ne sais pas... Merci pour votre aide.

Réponses

  • aléa
    aléa
    Ce n'est pas très gentil comme exercice.
    Pour le ii, commence par montrer que $(X,-Y)$ a même loi que $(X,Y)$.
  • Code_Name
    Code_Name
    On a que $\{(X,Y)\in A\}=\{(X,-Y)\in A\}$ car si $Y\in (A\cap T)|_y$ alors $-Y\in (A\cap T)|_y$ par symétrie du triangle, d'où égalité de loi.
  • aléa
    aléa
    La première égalité que tu écris est fausse.
  • Code_Name
    Code_Name
    Ah je vois, je suis allé trop loin, c'est vrai uniquement dans le triangle (si $A=T$). Mais du coup je ne sais pas...
  • P.
    P.
    Soit $R$ la matrice de rotation d'angle $2\pi/3$ et $V=(X,Y)^t$ Comme $RV\sim V$ alors $R\mathbb{E}(V)=\mathbb{E}(V)=0.$ Si $C=\left[\begin{array}{cc}a&c\\c&b\end{array}\right]$ alors $RV\sim V$ entraine $RCR^{-1}=V$ et donc $C$ est proportionnel a l'identite: on a $a=b$ et la covariance $c=\mathbb{E}(XY)$ est nulle.
  • Code_Name
    Code_Name
    P. c'est trop rapide pour moi... Pourquoi $RV\sim V$? Pourquoi $R\mathbb{E}(V)=\mathbb{E}(V)=0$? Pourquoi $RCR^{-1}=V$? Pourquoi $C$ est proportionnel à l'identité? Pourquoi la covariance est $c=\mathbb{E}(XY)$?
  • Chaurien
    Chaurien
    Je ne suis pas très calé en calcul des probabilités, alors pour la question (i), j'aurais l'idée élémentaire de calculer la fonction de répartition conjointe $P(X \le x$ et $Y \le y)$ par le calcul de l'aire d'un trapèze, qu'en dites-vous ?
    Remarque. J'observe que l'on renonce à nos notations $j$ et $j^2$ pour les racines cubiques de l'unité, au profit de celles du suzerain atlantique, toute honte bue.
  • P.
    P.
    Bonnes questions précises.

    1) $R$ préserve le triangle équilatéral et la mesure de Lebesgue de $\R^2$ donc $RV$ suit aussi la mesure de Lebesgue restreinte au triangle, ou plutôt la mesure uniforme.

    2) $RV\sim V\Rightarrow R\mathbb{E}(V)\stackrel{(*)}{=}\mathbb{E}(RV)=\mathbb{E}(V)$ (*) par linéarité de $R$

    3) $\mathbb{E}(V)=0$ car $R$ n'a pas de vecteur propre.

    4) Puisque $\mathbb{E}(V)=0$ alors $C=\mathbb{E}(VV^t)$ par définition de la matrice de covariance de $V.$
    Par le 1) $$C=\mathbb{E}(VV^t)=\mathbb{E}((RV)(RV)^t)=\mathbb{E}(RVV^tR^t)=R\mathbb{E}(VV^t)R^t=RCR^{-1}$$ car $ R^t=R^{-1}$ en tant que matrice orthogonale.

    5) $C=RCR^{-1}$ entraîne que $C$ est proportionnel à l’identité. Sinon la matrice symétrique $C$ a deux valeurs propres distinctes et deux espaces propres orthogonaux engendrés par $V_1$ et $V_2.$ Mais $CR=RC$ entraîne que $RV_1$ est aussi un vecteur propre, mais il ne peut être orthogonal à $V_1$ : contradiction.

    6) Pourquoi $c$ est la covariance de $X,Y\ ?$ Par définition de la matrice de covariance, voyons.
  • sevaus
    sevaus
    @Code_Name: Faire tourner un triangle équilatéral (qui a donc 3 angles de $\pi/3$) d'un angle de $\pi/3$ ne modifie pas notre façon de choisir nos points $V = (X, Y)$ d'où l'égalité en loi.

    Ensuite, si un vecteur aléatoire $V$ a pour espérance $\mathbb{E}[V]$ et matrice de covariance $C$ alors le vecteur aléatoire $RV$ a pour espérance $R\mathbb{E}[V]$ et matrice de covariance $RCR^T = RCR^{-1}$ ce qui donne donc $\mathbb{E}[V] = R\mathbb{E}[V]$ puis $\mathbb{E}[V] = 0$ par inversibilité de $R - I_2$ par exemple ainsi que $RCR^{-1} = C$ et donc $a = b, c = 0$ (j'ai résolu bêtement $RC = CR$, il y a sûrement plus intelligent).

    Puisque par définition de la matrice de covariance $C = \left(\begin{array}{cc}\text{cov}[X, X]&\text{cov}[X, Y]\\\text{cov}[Y, X]&\text{cov}[Y, Y]\end{array}\right)$ on a $c = \text{cov}[X, Y]$, il vient donc bien $\text{cov}[X, Y] = 0$.
  • P.
    P.
    "...... incapable de supporter ... cette charge écrasante qu'on appelle la reconnaissance."
  • aléa
    aléa
    Personne pour essayer la piste que j'ai donnée ? L'invariance du triangle par la symétrie axiale me semble pourtant un argument naturel.
  • P.
    P.
    C'est vrai alea, $\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X(-Y))$ donne la covariance de $X,Y$ nulle, apres avoir montre tout de meme par calcul que $ \mathbb{E}(X)=0$ (car $\mathbb{E}(Y)=0$ va tout seul). Et si on ne veut pas calculer, il faut les raisonnements de symetrie faits par sevaus et ton serviteur, qui donnent en plus la covariance du vecteur proportionnelle a l'identite, sans parler de generalisations a des polygones reguliers, tetraedre, voire solides platoniciens.
  • Code_Name
    Code_Name
    Bonjour P., j'essaye de comprendre votre réponse mais je n'arrive pas pour la 4) et la 5).

    Pour la 4) je croyais que $V=(X,Y)^t$ donc que veut dire $VV^t$?
    Pour la 5) je n'ai pas compris grand chose. Je n'ai pas vu cette histoire d'espaces propres orthogonaux (en somme directe oui mais pas orthogonaux) dans mon cours d'algèbre linéaire...
  • P.
    P.
    $$VV^t=\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)(X,Y)=\left(\begin{array}{cc}X^2&XY\\YX&Y^2\end{array}\right)$$ Pour le 5, tu sais qu'une matrice symetrique reelle est diagonalisable en base orthogonale, et donc que si toutes les valeurs propres sont distinctes, alors les vecteurs propres sont orthogonaux.
  • Chaurien
    Chaurien
    P. En effet, il faut relire sans cesse Le voyage de Monsieur Perrichon.
    .https://libretheatre.fr/wp-content/uploads/2016/06/le_voyage_de_monsieur_Perrichon_Labiche_LT.pdf
  • Code_Name
    Code_Name
    Je n'ai toujours pas compris la 5) car je n'ai jamais vu ca en détail donc je laisse.
    Pour la 4) par contre pourquoi $R(VV^t)=(RV)(RV)^t$?
    Aussi, tu as pu sortir les $R$ de $\mathbb E$ par linéarité encore c'est ca? Le fait que tu l'as sorti à droite pour le $R^t$ me perturbe un peu...
  • P.
    P.
    Code_Name
    Hum, je ne sais pas quel est ton niveau, mais il comprend certainement le L2, et le résultat sur les matrices symétriques diagonalisables, outil indispensable des stat-proba.

    Pour le 4) ce n'est pas $R(VV^t)=(RV)(RV)^t$ qui est écrit, mais $R(VV^t)R^t=(RV)(RV)^t$.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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