Proba dans le triangle équilatéral
Bonjour, soit $\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}$ et $T$ le triangle équilatéral avec sommets $1,\omega,\omega^2$.
Soit $X+iY,\; X,Y\in \mathbb R$ une v.a. uniformément distribuée dans $T$ (par rapport à la mesure de Lebesgue).
Il faut
Pour les autres je ne sais pas... Merci pour votre aide.
Soit $X+iY,\; X,Y\in \mathbb R$ une v.a. uniformément distribuée dans $T$ (par rapport à la mesure de Lebesgue).
Il faut
- Donner la loi de $(X,Y)$
- Donner la covariance de $X$ et $Y$
- Dire si $X$ et $Y$ sont indépendants
Pour les autres je ne sais pas... Merci pour votre aide.
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Réponses
Pour le ii, commence par montrer que $(X,-Y)$ a même loi que $(X,Y)$.
Remarque. J'observe que l'on renonce à nos notations $j$ et $j^2$ pour les racines cubiques de l'unité, au profit de celles du suzerain atlantique, toute honte bue.
1) $R$ préserve le triangle équilatéral et la mesure de Lebesgue de $\R^2$ donc $RV$ suit aussi la mesure de Lebesgue restreinte au triangle, ou plutôt la mesure uniforme.
2) $RV\sim V\Rightarrow R\mathbb{E}(V)\stackrel{(*)}{=}\mathbb{E}(RV)=\mathbb{E}(V)$ (*) par linéarité de $R$
3) $\mathbb{E}(V)=0$ car $R$ n'a pas de vecteur propre.
4) Puisque $\mathbb{E}(V)=0$ alors $C=\mathbb{E}(VV^t)$ par définition de la matrice de covariance de $V.$
Par le 1) $$C=\mathbb{E}(VV^t)=\mathbb{E}((RV)(RV)^t)=\mathbb{E}(RVV^tR^t)=R\mathbb{E}(VV^t)R^t=RCR^{-1}$$ car $ R^t=R^{-1}$ en tant que matrice orthogonale.
5) $C=RCR^{-1}$ entraîne que $C$ est proportionnel à l’identité. Sinon la matrice symétrique $C$ a deux valeurs propres distinctes et deux espaces propres orthogonaux engendrés par $V_1$ et $V_2.$ Mais $CR=RC$ entraîne que $RV_1$ est aussi un vecteur propre, mais il ne peut être orthogonal à $V_1$ : contradiction.
6) Pourquoi $c$ est la covariance de $X,Y\ ?$ Par définition de la matrice de covariance, voyons.
Ensuite, si un vecteur aléatoire $V$ a pour espérance $\mathbb{E}[V]$ et matrice de covariance $C$ alors le vecteur aléatoire $RV$ a pour espérance $R\mathbb{E}[V]$ et matrice de covariance $RCR^T = RCR^{-1}$ ce qui donne donc $\mathbb{E}[V] = R\mathbb{E}[V]$ puis $\mathbb{E}[V] = 0$ par inversibilité de $R - I_2$ par exemple ainsi que $RCR^{-1} = C$ et donc $a = b, c = 0$ (j'ai résolu bêtement $RC = CR$, il y a sûrement plus intelligent).
Puisque par définition de la matrice de covariance $C = \left(\begin{array}{cc}\text{cov}[X, X]&\text{cov}[X, Y]\\\text{cov}[Y, X]&\text{cov}[Y, Y]\end{array}\right)$ on a $c = \text{cov}[X, Y]$, il vient donc bien $\text{cov}[X, Y] = 0$.
Pour la 4) je croyais que $V=(X,Y)^t$ donc que veut dire $VV^t$?
Pour la 5) je n'ai pas compris grand chose. Je n'ai pas vu cette histoire d'espaces propres orthogonaux (en somme directe oui mais pas orthogonaux) dans mon cours d'algèbre linéaire...
.https://libretheatre.fr/wp-content/uploads/2016/06/le_voyage_de_monsieur_Perrichon_Labiche_LT.pdf
Pour la 4) par contre pourquoi $R(VV^t)=(RV)(RV)^t$?
Aussi, tu as pu sortir les $R$ de $\mathbb E$ par linéarité encore c'est ca? Le fait que tu l'as sorti à droite pour le $R^t$ me perturbe un peu...
Hum, je ne sais pas quel est ton niveau, mais il comprend certainement le L2, et le résultat sur les matrices symétriques diagonalisables, outil indispensable des stat-proba.
Pour le 4) ce n'est pas $R(VV^t)=(RV)(RV)^t$ qui est écrit, mais $R(VV^t)R^t=(RV)(RV)^t$.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]