Calcul astucieux ?

Choisir $A,$ $B,$ $C$ revient à choisir un point dans le cube $\left[0;1\right]\times \left[0;1\right]\times \left[0;1\right].$

Si $A\geq B,$ l'événement qui t'intéresse s'écrit (pour simplifier je prends des inégalités larges) $C\geq A-B.$ On a donc affaire à un polyèdre à cinq sommets $(0,0,1),$ $(1,0,1),$ $(0,0,0),$ $(1,1,0)$ et $(1,1,1).$

Si $A\leq B,$ on obtient un polyèdre symétrique qui n'intersecte pas le premier autrement que par des côtés.

Moralité : il suffit de calculer le volume du polyèdre et de multiplier par 2. Pour le calcul, on remarque que ce polyèdre est le "complémentaire" d'un tétraèdre de sommets $(0,0,0),$ $(1,0,0),$ $(1,1,0),$ $(1,0,1).$ Son volume est $V=\frac{1}{6}\det\big(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\big),$ avec $\overrightarrow{u}=(0,1,0),$ $\overrightarrow{v}=(-1,0,0),$ $\overrightarrow{w}=(0,0,1).$

Finalement, la probabilité cherchée est $P=2\times \big(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\times 1\big)=\frac{2}{3}.$

C'est l'intersection des deux demi-espaces $A\geq B$ et $C-A+B\geq 0.$

Le premier demi-espace correspond à un demi-cube ; et le deuxième demi-espace enlève un petit tétraèdre trirectangle de ce demi-cube. Avec un dessin, ça m'a paru clair.