Loi du chi2

Bonjour
À l'aide de la technique de la fonction muette j'arrive à montrer que la densité du carré d'une gaussienne centrée réduite est $x \mapsto 1/\sqrt{2\pi}\,e^{-x/2}/\sqrt x$.
Donc j'arrive à montrer la formule pour 1 degré de liberté mais je n'arrive pas à la généraliser pour plusieurs degrés de liberté (c'est peut-être complexe avec la technique de la fonction muette). Comment feriez-vous ?

Edit : maintenant que je connais la loi d'une va $Z$ : carrée d'une gaussienne centrée réduite, je me disais que je pourrais généraliser à 2 degrés de liberté en utilisant le changement de variable classique $(u,v) \to (u+v,u-v)$ en réappliquant la technique de la fonction muette (déjà c'est complexe car je me retrouve avec une racine carré de $u+v$ sans savoir comment me débarrasser de $v$).
Puis éventuellement en essayant de généraliser cette formule par récurrence.