Marche aléatoire sur $\Z^d$, avec $d>3$

elleest · April 2021

Bonjour
Je m'intéresse aux marches aléatoires et je lis actuellement cet article : modèles stochastiques.

Avec l'aide des membres du forum, j'ai réussi à comprendre les cas jusqu'à d=3.
En bas de la page 29 du document, les auteurs donnent une méthode astucieuse pour d>3 en projetant la marche sur Z^3.
J'avoue que j'ai du mal à comprendre le raisonnement.
Des explications seraient bienvenues !
Merci d'avance :-)

marsup · April 2021

Bonsoir,

Est-ce que tu voudrais bien nous dire explicitement ta question, éventuellement en postant une image, pour que les lecteurs n'aient pas besoin de parcourir un pdf en lien externe, et de se rendre à la page en question ?

marsup · April 2021

Par exemple, poster ceci :

marsup · April 2021

Je vais essayer de dire l'argument que je lis avec des mots.

Pour qu'une marche dans $\Z^d$, avec $d\ge 3$ revienne une infinité de fois à l'origine, il faudrait déjà que ses 3 première coordonnées le fassent.

Mais ceci vient avec probabilité nulle, donc a fortiori dans $\Z^d$, pour $d\ge 3$.

marsup · April 2021

Autrement dit, $f(d) = P(\text{la suite revient une infinité de fois à l'origine})$ est une fonction décroissante avec $d$.

Une fois qu'elle est à 0, elle y reste.
Si elle est à 1, c'est que c'était déjà la cas avant !