Un calcul difficile (pour moi)

$$\sum _{i=0}^{\infty}\sum _{j=0}^{\infty}\frac{s^iz^j}{(i+j+1)!}=\sum _{n=0}^{\infty}\sum _{j=0}^{n}\frac{s^{n-j}z^j}{(n+1)!}=\ldots=\frac{e^s-e^z}{s-z}.$$ Si $ s\to z$ on en tire $\sum _{i=0}^{\infty}\sum _{j=0}^{\infty}\frac{z^{i+j}}{(i+j+1)!}=e^z$ et donc pour $z=1$ on obtient $\sum _{i=0}^{\infty}\sum _{j=0}^{\infty}\frac{1}{(i+j+1)!}=e.$ Alors $$\Pr(X=i, Y=j)=\frac{1}{e}\frac{1}{(i+j+1)!}\Rightarrow \mathbb{E}(s^Xz^Y)=\frac{1}{e}\frac{e^s-e^z}{s-z}$$ qui n'est pas le produit d'une fonction de $s$ seul et d'une fonction de $z$ seul: donc $X$ et $Y$ ne sont pas independantes. Au passage en faisant $z=1$ $$\mathbb{E}(s^X)=\frac{1}{e}\frac{e^s-e}{s-1}=\frac{1-e^{-(1-s)}}{1-s}:$$ ce n'etait pas evident que la serie entiere de somme $\frac{1-e^{-(1-s)}}{1-s}$ soit a coefficients positifs.

Choli!