Notions difficiles à appréhender en probas

Imaginons un jeu de hasard type Monopoly. Trois joueurs ont misé 100 euros pour jouer une partie, le vainqueur repartira avec les 300 euros mis en jeu. Imaginons à présent qu'un cas de force majeure empêche la partie d'aller à son terme, et ce de façon définitive. Comment répartir les 300 euros équitablement ? En donnant à chacun l'espérance se son gain final. Par exemple, si on note $X$ le gain final du premier joueur (donc $X$ peut prendre les valeurs $0$ et $300,$ avec certaines probabilités), alors le premier joueur quitte la partie avec la somme $E(X)$ (qui ici est très compliquée à calculer).

Comme d'habitude, Pablo demande aux autres de faire ce qu'il ne fait pas lui-même : penser. Au lieu de prendre un bon bouquin de probas et de faire fonctionner ses cellules grises, il demande aux autres de lui "expliquer". Plus grave encore, il y a partout sur Internet des vidéo faisant ce qu'il demande, mais il est trop fainéant pour chercher lui-même.

Enfin ce fantaisiste qui prétend avoir résolu des conjectures célèbres de hautes mathématiques demande des explications pour économiste !! Il se moque du monde. Et plusieurs de ces notions sont accessibles à un lycéen (qu'il a été).

Ne perdez pas votre temps ...

Pablo a écrit:

j'aimerais qu'on m'explique qu'est-ce qu'on mesure exactement

Bin déjà l'espérance c'est un peu comme une moyenne en réalité, c'est comme au collège quand on voulait calculer sa moyenne, avec les différentes évaluations et coefficients. Admettons j'ai 5/20 coefficient 6 en mathématiques et 18/20 coefficient 4 en anglais, et bien la moyenne c'est ........? Et de ce fait, et bien l'espérance c'est un peu la même chose, mais avec des probas !

Ensuite, l'écart-type, c'est lorsqu'on essaye de regarder l'étalement/ la dispersion des notes par rapport à la moyenne. Si jamais l'écart-type est trop grand, cela veut dire que les notes des gens de la classe sont éloignés de la moyenne, et si l'écart-type est petit et bien cela veut dire qu'elles se rapprochent. Et en proba c'est la même chose, mais avec des probas !!

Et ainsi de suite pour les autres notions, désolée j'ai la flemme tout expliquer, c'est long. Mais en gros mon conseil en probas c'est de se faire des exemples imagés ! Moi je comprends mieux lorsque je me raconte des petites histoires.

En effet je n’avais pas vu les messages précédents.

J’ai eu du temps à perdre.

Soit $\Omega$ un ensemble, $N\in \N$, $x_1,...,x_N\in \Omega$. On note $\mathcal A$ l'ensemble de toutes les parties de $\Omega$ (qui est une tribu telle que pour tout ensemble $F$, toute $\sigma$-algèbre $\sigma_{\mathcal F}$ et toute fonction $g:\Omega \to F$, $g$ est $(\mathcal A,\sigma_{\mathcal F})$-mesurable).

Ci-dessous, si $Q$ est une mesure de probabilité sur $(\Omega,\mathcal A)$, on note $E_Q$ l'espérance par rapport à $Q$ et $\text{Var}_Q$ la variance par rapport à $Q$.

Pour tout $B\in \mathcal A$, on note $P(B):=\frac{1}{N} \text{Card} \left ( \left \{ k \in \{1,...,N\} \mid x_k \in B\right \}\right )$.

Exercices: montrer les affirmations suivantes:
1°) $P$ est une mesure de probabilité sur $(\Omega,\mathcal A)$
2°) Pour toute fonction $X:\Omega \to \R$, $X$ est intégrable pour $P$ et $E_P(X)=\frac{1}{N} \sum_{k=1}^n X(x_k)$
3°) Pour toute fonction $Y:\Omega \to \R$, $\text{Var}_Q(Y)=\frac 1 N \sum_{k=1}^N \left (Y(x_k)-E_P(Y) \right)^2$
4°) Pour tous $A,B\in \mathcal A$ tels que $P(B)\neq 0$, $\frac{P(A\cap }{P(B)}=\frac{\text{Card} \left ( \left \{ k \in \{1,...,N\} \mid x_k \in A \cap B\right \}\right )}{\text{Card} \left ( \left \{ k \in \{1,...,N\} \mid x_k \in B\right \}\right )}$. $P_B$ est une mesure de probabilité sur $(\Omega,\mathcal A)$
5°) Soient $U$ un ensemble et $X:\Omega \to \R$, $Y:\Omega \to U$ des fonctions. Soit $\varepsilon:U \to \R$ une fonction quelconque. Pour tout $u\in U$, s'il existe $k$ tel que $Y(x_k)=u$, on pose $f(u):= E_{Q_u} (X)$ avec $Q_u:= P_{Y^{-1}(u)}$; sinon on pose $f(u):=\varepsilon (u)$.
Alors $f\circ Y = E_P(X|Y)$ (espérance conditionnelle).

Bonjour

La notion de "moyenne" est un sujet qui apparaît de manière naturelle quand on veut remplacer dans un calcul une variable numérique par une simple constante (plus facile à envisager) pour obtenir un même résultat.

Je m'explique par des exemples.

1/ tous les jours, il pleut une quantité >= 0 . On fait un relevé sur 30 jours et on se pose une première question : quelle quantité totale d'eau est tombée ce mois-ci ? on fait donc la somme S des quantités journalières. Seconde question : quelle constante quotidienne permettrait d'obtenir ce même résultat S ? réponse la moyenne arithmétique M=S/30 . On dira donc, qu'en moyenne, il pleut M chaque jour (même s'il ne pleut que très rarement cette quantité M en réalité)

2/ Un sauteur en longueur participe à un concours : il saute cinq fois (sauts de longueurs variables s1,...,s5) et on retient sa meilleure performance. Quelle longueur constante peut remplacer tous ses sauts ? réponse la moyenne ultramétrique M = max(s1,...,s5). (même si le sauteur n'a réalisé qu'une seule fois cette performance)

3/ Chaque année, un compte bancaire bloqué rapporte des intérêts : on multiplie le placement par un nombre variable dépendant de la situation économique. Sur 10 ans, on relève ces facteurs multiplicatifs annuels. On se pose une première question : par quel coefficient le montant du placement a été multiplié sur 10 ans ? on fait donc le produit P des coefficients annuels. Seconde question : quelle constante annuelle permettrait d'obtenir ce même résultat S ? réponse la moyenne géométrique M=P^(1/10) . On dira donc, qu'en moyenne, le placement est multiplié par M chaque année.

Bref, il existe plein de situations où la moyenne arithmétique est employée. Mais il y a aussi des situations où on est conduit à utiliser la moyenne harmonique, moyenne ultramétrique, moyenne quadratique, moyenne géométrique, ...

Bonjour Pablo,

Question rhétorique : la moyenne du bac en France est aussi une moyenne constituée de matières avec des coefficients, considérez-vous que la moyenne du bac est une tricherie par conséquent ? :-D
Vous avez la réponse à votre question.

Bon après je dois admettre que peut-être l'exemple des notes ne vous parle pas, mais je n'ai pas vraiment l'habitude d'expliquer à des gens un p'tit peu plus vieux que moi. Car d'habitude les gens de 35/40 ans sont plutôt mes profs, mes managers ou encore mon "mentor" au sein de la maison de haute couture où je travaille, ils suivent ma progression, me conseillent, mon mentor veut même des debriefs sur mes entretiens de stages de césure pour me conseiller etc et moi la petite Flora, je suis la disciple. En vrai c'est dommage durant ces dernières années vous n'avez pas pu comprendre toutes ces notions, car quelqu'un m'a dit que ça faisait longtemps que vous étiez sur le forum ( presque 10 ans ?), anyways, courage à vous !! (tu)
Comme disait mon papy, mieux vaut tard que jamais !

Flora,

quand tu réponds à Pablo, oublie son âge réel. Dans sa tête il a encore 16 ans. Et si tu relis tout ce qu'il a écrit, tu verras qu'il pose des question "pointues" sur des domaines de maths de recherche, et des questions "innocentes" comme celles qu'il pose ici. Tu en sais bien plus que lui en mathématiques, mais comme tu n'as pas passé des années à lire des maths de haut niveau sans comprendre, tu n'es pas capable de copier des lignes de symboles comme il le fait, et comme tu es sérieuse, tu ne prétends pas avoir résolu des conjectures célèbres : Toi, tu ne te fais pas mousser en trichant.

Caractéristique chez lui : dans sa question, il mélange des notions de L1 (niveau qu'il n'a pas) comme espérance et variance, et de L3-Master comme espérance conditionnelle. Ce qui montre bien qu'il n'a pas fait l'effort de chercher par lui-même un cours de base. Probablement lit-il un document de haut niveau qui utilise ces notions, en croyant que quelques explications sur un forum remplaceront un vrai apprentissage des bases (ça fait plus de 15 ans qu'on lui conseille d'apprendre les cours de L1-L2, il s'y est toujours refusé).

Cordialement.

Oui Léon, je le sais pour la moyenne du bac que ce n'est pas un " vrai exemple", mais je me suis dit vu le niveau de difficultés du questionneur c'était mieux de prendre un exemple du quotidien.

exact Dom.

C'est quoi la signification réelle d'un concept mathématique ?
Sinon as-tu déjà entendu parler des normes $L^p$ en analyse ?

Flora :

La symétrie des valeurs par rapport à la moyenne et l'applatissement de la courbe de densité par rapport à celle d'une gaussienne ont aussi à voir avec les moments d'ordre supérieur à 2. Voir un cours de statistiques descriptives.

Cordialement.

Flora, je pense que tu sais ce qu'est une gaussienne : c'est la densité de la loi normale.

Mais pourquoi veux-tu que ça corresponde à autre chose ? Pourquoi toujours chercher des rapports quand "ça ressemble un peu" ? Pourquoi quand tu as une idée vague ("c'est une distance") et fausse continues-tu sur ton idée (fausse) ?
Et finalement, pourquoi ne prends-tu pas à la base un cours de probas, pour l'apprendre comme ferait n'importe qui ? Finalement la seule chose qui compte, c'est qu'on s'intéresse à toi. Même seulement pou te dire que ce que tu fais est idiot.
Ton importance est en toi, pas dans la présence de ton pseudo sur un forum. Si tu ne fais rien de ton intelligence, ton pseudo n'est qu'une ombre ridicule sur un écran.

Ce que tu peux faire, Pablo, c'est utiliser un bon vieux tableur.
Tu saisis une première série d'une cinquantaine de valeurs. Puis une 2ème série, puis une 3ème série.
Dans la 1ère série, tu reproduis une loi normale, autant que possible. Avec des valeurs entre 100 et 200 par exemple, et une moyenne de 200
Dans la 2ème série, tu modifies différentes valeurs, pour avoir une courbe volontairement déséquilibrée : Tu choisis 5 valeurs parmi les plus grandes, et tu les augmente de 20, et tu prend 10 valeurs vers le milieu, et tu les diminues de 10.

Pour la 3ème série, tu prends une distribution uniforme, ou assimilée : 5 valeurs aléatoires entre 100 et 110, et idem dans chaque dizaine.
Et tu fais ainsi autant de séries que tu veux. Avec des caractéristiques de ton choix.

Et pour chaque série de 100 valeurs, tu calcules les moments d'ordre 2, ordre 3, ordre 4, ordre 5 éventuellement.

Et tu tires tes conclusions. Et tu publies tes résultats.

Destinées à tout le monde, sauf à gerard0, c'est bien ça, Pablo ?

Je pense que gerard0 a plutôt raison, en l'occurrence.

Dans le temps, il y avait des autoroutes réservées aux grands de ce monde, les voies royales.

On raconte que le roi satrape Ptolémée a demandé à Euclide s'il n'y avait pas moins fastidieux que de se taper ses Éléments.

La légende veut qu'Euclide ait répondu : "Sire, pour la géométrie, il n'y a pas de voie royale".

C'est un peu ce que gerard0 te dit, et ça ne me semble pas faux.

Bonjour,

L'âge n'a rien à voir là dedans, Pablo, on peut apprendre n'importe quoi à partir de $0$ à n'importe quel âge.
J'ai appris le Python à $55$ ans, puis l'ai enseigné, le $\LaTeX$ à $60$.
Et je ne sais pas ce que l'avenir me réserve.

Cordialement,

Rescassol