Existence d'une sous-suite ?
Bonjour
Voila mon problème.
Soit $(X_{n})$ une suite des v.a.r positives vérifiant : $ X_{n}\nearrow \infty\quad p.s.$
A-t-on qu'il existe une sous-suite $(X_{n_{k}})$ telle que :
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{X_{n_{k}}} <\infty \quad p.s.
$$ Merci beaucoup.
Voila mon problème.
Soit $(X_{n})$ une suite des v.a.r positives vérifiant : $ X_{n}\nearrow \infty\quad p.s.$
A-t-on qu'il existe une sous-suite $(X_{n_{k}})$ telle que :
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{X_{n_{k}}} <\infty \quad p.s.
$$ Merci beaucoup.
Réponses
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Bonjour,
Oui. On peut le faire en 3 questions intermédiaires :- Montrer que : $\forall M>0,\, \forall \varepsilon >0, \, \exists n\in\Bbb N,\,\Bbb P(X_n >M) >1-\varepsilon$.
- Montrer que, pour tout $\varepsilon >0$, il existe une extractrice $(n_k)_k$ telle que $\Bbb P\Big(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac1{X_{n_k}} < \infty \Big) >1-\varepsilon$.
- Conclure.
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Merci Calli
Dans votre réponse la sous-suite dépend de epsilon.
Moi je cherche une sous-suite ne [qui n'en] dépend pas. -
C'est pour ça qu'après la deuxième question, il y a une troisième question "conclure"...
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Merci Calli
Svp, veuillez faire plus de détails comment conclure -
Si tu ne fais pas l'effort de chercher à répondre à ces questions intermédiaires, je ne te donnerai pas de réponse toute faite.
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3) epsilon=1/k, k=1,2,...
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Mouhahaha géniale la réponse (tu)
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Ça dépend comment tu t'y prends.
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C'est Calliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii.
Calliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii.
Bon, j'en ai marre. Tu ne fais aucun effort. Bye ! -
bonjour,
désolé Calli,
pour k=1, il existe sous suite (nq(1))q
pour k=2, il existe une sous suite de (nq(1))q, notée (nq(2))q
etc,...
par récurrence on montre l'existence d'une sous suite (nk(k))k telle que:
$$ \Bbb P\Big( \sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{X_{n_{q}^{(q)}}} < \infty \Big) >1-k^{-1} $$
satisfaite pour k.
est-il OK ??? -
Rigolo. Allez, une autre solution.
On pose $U_n=\min(1,\frac1{X_n})$.
1) Montrer que $E(U_n)\to 0$
2) Construire $n_k$ avec $E(U_{n_k})\le 2^{-k}$.
3) On pose $\Psi=\sum_{k\ge 1} U_{n_k}$. Montrer que $\Psi$ est intégrable.
4) En déduire que $P(\Psi<+\infty)=1$.
5) Conclure. -
C'est bizarre d'utiliser les probas, vu que le résultat implique qu'il est aussi valable pour une suite numérique, et que le résultat pour les suites numériques implique qu'il est valable pour les v.a.r.. On devrait pouvoir le démontrer directement pour les suites numériques non ?
-
Ah non... Le résultat pour les suites numériques implique le résultat pour les v.a.r. avec une sous-suite qui dépend de $\omega$. Ceci m'avait échappé.
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Bonjour!
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