Loi logistique (exercice)

1)
$
\begin{align*}
f_i(q, \theta)&= ( p_i(\theta) )^q ( 1- p_i(\theta) ) ^{ 1-q} \\
L(q_1\dots q_n,\theta)&= \prod_{i=1}^n ( p_i(\theta) )^{ q_i} ( 1- p_i(\theta) ) ^{ 1- q_i}\\
l( q_1\dots q_n,\theta) &= \sum q_i \ln p_i(\theta) + \sum (1-q_i) \ln ( 1- p_i(\theta) ) \\
&= \sum q_i \ln \left( \dfrac{p_i(\theta) }{ 1- p_i(\theta) } \right) + \sum \ln ( 1- p_i(\theta) ) \\
\dfrac { \partial l }{ \partial \theta}( q_1\dots q_n,\theta) &= \sum \dfrac{q_i p_i'(\theta) }{ (1- p_i(\theta) ) p_i(\theta) } - \sum \dfrac{p_i'(\theta) }{1- p_i(\theta)} =0 \\
\end{align*}
$

2a)
$\ln \left( \dfrac{p_i(\theta) }{ 1- p_i(\theta) } \right) = x_i \theta$, pour la constante d'intégration, la fonction à gauche s'annule en $\theta=0$

2 b)
$0=\sum q_i x_i - \sum x_i p_i(\theta)$

3)
$
\begin{align*}
P(X_i=q_i,Z_i=z_i)&= l(X_i=q_i|Z_i=x_i)P(Z_i=x_i)\\
&=q_i \ln \left( \dfrac{p(\theta,i) }{ 1- p(\theta,i) } \right) + \ln ( 1- p(\theta,i) ) +\ln \pi_i \\
\end{align*}
$
On dérive par rapport à $\theta$, on obtient les mêmes conditions,

4 a) Pour $i \ne j$ ,

$
\begin{align*}
\mathbb{1}_{X=x_i} \mathbb{1}_{X=x_j}&=0\\
cov(Y_i,Y_j)&= E(Y_i Y_j)- E(Y_i) E(Y_j) \\
E(Z\mathbb{1}_{X=x_i}) &= E (E( Z\mathbb{1}_{X=x_i} |X)) \\
&= E( \mathbb{1}_{X=x_i} E(Z|X) ) \\
&= E( \mathbb{1}_{X=x_i} \sum p(\theta, X) )\\
&= E( \mathbb{1}_{X=x_i} \sum p(\theta, l) \mathbb{1}_{X=x_l} )\\
&= E( \mathbb{1}_{X=x_i} p(\theta, i) \mathbb{1}_{X=x_i} )\\
&= \pi_i p(\theta, i) \\
cov(Y_i,Y_j)&=- \pi_i p(\theta,i) \pi_j p(\theta,j) \\
Var(Y_i)&= E(Z^2 \mathbb{1}_{X=x_i} ) - \pi_i ^2 p(\theta,i)^2 \\
&= E(Z \mathbb{1}_{X=x_i} ) - \pi_i ^2 p(\theta,i)^2 \\
&= \pi_i p(\theta,i) ( 1- \pi_i p(\theta,i) )\\
\end{align*}
$

4 b) $\sum_{k} \hat{ p_{k,n}} =1$ donc pas d'indépendance.