Loi d'un couple

Code_Name · April 2021

Bonjour, est-ce que connaître la loi d'un couple $(X,Y)$ donne une information sur la loi des composantes ? Par exemple si je dis que le couple $(X,Y)$ suit la loi uniforme dans $B\subset \mathbb R^2$, est-ce que c'est le cas pour $X$ et $Y$ sur $B_x$ et $B_y$ respectivement ?
Merci.

aléa · April 2021

A la première question, la réponse est oui.
La deuxième n'a pas de sens, puisque tu ne dis pas ce que sont $x$ et $B_x$, $y$ et $B_y$.

Code_Name · April 2021

Il s'agit de $B$ restreint aux composantes. Je sais que ce n'est pas de la forme $B=B_x\times B_y$ mais je ne sais pas comment m'exprimer autrement...

aléa · April 2021

Ok, j'ai compris: ce que tu appelles $B_x$ c'est la projection de $B$ sur la première composante.

En général, c'est faux.

Exemple: $B=\{(x,y)\in\R_+^2; x+y\le 1$.

Ce que tu appelle $B_x$ vaut $[0,1]$, idem pour $B_y$.

On voit que
- $X$ et $Y$ ne sont pas indépendants
- $X$ et $Y$ ne suivent pas une loi uniforme.

Code_Name · April 2021

Peux-tu me détailler tes deux affirmations à la fin?

gerard0 · April 2021

Code_Name,

c'est du cours de base sur les variables aléatoires. Il te suffit d'appliquer la règle qui donne la densité de X en fonction de la densité de $(X,Y)$ ; règle d'ailleurs assez intuitive. Si $(X,Y)$ a comme densité $f$ sur $\mathbb R^2$, alors $X$ a comme densité $t\mapsto \int_{\mathbb R}f(t,y)\ dy$.

C'est très surprenant de te voir poser des questions élémentaires (cours de base en probas) alors que tu sembles traiter des exercices de haut niveau (donc pour des gens qui ont assimilé les bases).
Cordialement.