Simulation convergence p.s. vers brownien

Georges Abitbol
Georges Abitbol
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
je suis très peu cultivé en mouvement brownien.

Je voudrais un algorithme (contenant de l'aléatoire) qui converge vers le mouvement brownien dans le plan, presque sûrement uniformément. Voici comment je procède :

L'algorithme consiste à construire une ligne brisée en raffinant les points. Précisément :
- étant donnés deux points $p_0,p_1$ du plan, on fabrique $p_{\frac{1}{2}}$ en le tirant selon une loi normale de moyenne $\frac{p_0+p_1}{2}$ et de variance $???$ ;
- étant donnée une liste de points, on raffine cette liste en intercalant entre deux points successifs de la liste le point obtenu comme ci-dessus.

On part d'une liste contenant $(0,0)$ et l'extrémité d'un vecteur gaussien sphérique, et qu'on itère l'algorithme précédent, on devrait tomber sur le mouvement brownien.

Problème : quelle variance faut-il choisir ? J'ai du mal à m'y retrouver... Bon, je sais déjà que si $(B_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ est un brownien réel commençant à $(0,0)$, alors $B_{\frac{1}{2}} - \frac{B_0 + B_1}{2}$ (i.e. la position du point intermédiaire par rapport au barycentre des extrémités) suit une loi $\mathcal{N}(0,\frac{1}{\sqrt{2}})$. Mais à partir de là, je bloque.

Réponses

  • aléa
    aléa
    Voici un petit texte de mon cru basé sur cette idée.

    Bonne lecture !
  • marsup
    marsup
    Bonjour,

    J'arrive après alea, mais je poste quand même la réponse que j'avais écrite :

    Je le fais seulement en dimension 1, puisqu'en dimension 2, il s'agit de faire ça sur chacune des coordonnées.
    $\def\var{\text{var}}\def\cov{\text{cov}}$

    Soient $X,Y$ normales et indépendantes centrées de variance $a,b$.
    Soit $S = X+Y$. Elle est normale centrée de variance $a+b$.

    La régression linéaire de $X$ par $S$ s'écrit $X = t \cdot S + (X-t \cdot S)$, avec : $\cov(X-tS,tS) = 0$ donc $t = \frac{a}{a+b}$.
    Par Gaussianité (?) on a : $t \cdot S$ et $X-t\cdot S$ indépendantes, et $\var(X-tS) = \var(X) - \var(tS) = a - \big(\frac{a}{a+b}\big)^2 \cdot (a+b) = \frac{ab}{a+b}$.

    Donc en tout, si tu connais $B_0,B_1$, avec $\var(B_0)=0$, et $\var(B_1)=1$, tu peux simuler $B_\frac{1}{2}$ en partant de $\frac{B_0+B_1}{2}$, et en ajoutant une normale indépendante de tout centrée de variance $\frac{1}{4}$.

    Autrement dit, $B_\frac{1}{2}$ est normale d'espérance conditionnelle $\frac{B_0+B_1}{2}$, de variance $\frac{1}{2}$, avec $\var\big(\frac{B_0+B_1}{2}\big) = \frac{1}{4}$, et $\var\big(B_\frac12 - \frac{B_0+B_1}{2}\big) = \frac{1}{4}$.

    En général, la variance de $B_{\frac{s+t}{2}}$ connaissant $B_s,B_t$ est $\frac{1}{4} \cdot \var(B_t-B_s)$.
  • marsup
    marsup
    $\def\var{\text{var}}\def\cov{\text{cov}}$
    Pour le dire d'une façon plus explicite encore.

    Si $B$ est normale centrée de variance $u$, on peut construire $X,Y$ normales centrées
    • telles que $B = X + Y$
    • avec $X,Y$ indépendantes
    • avec $\var(X) = \var(Y) = \frac{u}{2}$
    comme suit :
    1. On prend $N$ normale centrée de variance $u$, indépendante de $B$.
    2. On pose $X = \frac{B+N}{2}$, $Y = \frac{B-N}{2}$.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Merci beaucoup, je suis en train de lire.

    @Aléa : Il y a une coquille après "Construction" : tu définis deux fois de suite $X^{n+1}_{2k}$. Le deuxième, c'est peut-être $X^{n+1}_{2k+1}$ ?
  • aléa
    aléa
    @Georges Abitbol: bien vu, merci.
  • zazou
    zazou
    Merci pour ce fil très intéressant, je ne me doutais pas qu'il était si facile de simuler un Brownien ! Merci également à aléa pour le code (que j'ai volé!)120678
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Une autre possibilité pour simuler un mouvement brownien à l'ordinateur est d'utiliser le théorème de Donsker. On demande à l'ordi des variables aléatoires $X_1,X_2,...$ iid centrées de variance $1$ et on renvoie la trajectoire en ligne brisée qui vaut $\sqrt{\delta t} \sum_{k=0}^n X_k$ au temps $n \times \delta t$ (en appelant le pas choisi $\delta t$). Quand $\delta t \to 0$, ça converge en loi vers un brownien d'après le théorème de Donsker.
    Je ne sais pas si, entre ça et ce que faisait Georges, une méthode est meilleure que l'autre en terme de vitesse de convergence (je ne même pas quelle notion de vitesse de convergence utiliser). Déjà, suivant si les $X_i$ ci-dessus sont des Rademacher ou des ${\cal N}(0,1)$, ça doit changer la qualité de l'approximation... je présume.

    Edit : En regardant le pdf d'alea, la méthode du message initial a l'air meilleure comme elle converge p.s. uniformément vers un brownien. Du coup, mon message n'est pas très utile.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Bon ben j'ai réussi, et je me suis bien amusé avec Sage. Merci pour vos réponses, ça m'a bien aidé !
    Je vous joins un gif que j'ai fait (attention c'est un peu lourd).

    @Calli : Un des intérêts de cette méthode, c'est que c'est itérable. Pour avoir un truc plus précis en redimensionnant une marche aléatoire, ben, t'es obligé.e de tout refaire ! Alors que là, tu peux calculer ta ligne brisée, manger un sandwich, puis la raffiner, etc.120682
  • Calli
    Calli
    Georges, c'est vrai.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @Calli : Oui.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 14

AzothLirone93jaybepozzarssi +9 Invités