Loi de Poisson et indépendance
Bonjour,
je découvre les statistiques et l'exercice de fin de chapitre suivant me pose problème.
Toute aide est la bienvenue.
Un commerce reçoit N client par saison, avec N~Poisson(lambda). la probabilité qu'un client achète le produit est de p.
Le profit de chaque produit vendu est de x. Chaque produit restant est entreposé pour la saison suivante à un coût de y.
i) Soit X="nombre de clients qui achètent le produit" et Y="nombre de clients qui ne l'achètent pas". Ces deux variable sont elles indépendantes ?
ii) Trouver n le nombre de produits stockés pour maximiser le profit moyen du commerce.
Pour la première question, il me semble que non elles ne le sont pas car on peut formuler X~Poisson(lambda*p) et Y~Poisson(lambda*(1-p)), puis utiliser P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y). mais je ne vois pas comment tirer parti de cette formule.
Pour la seconde, j'ai supposé que le profit moyen par saison était égal à P(X<=n)*x = P(Y<=n)*y.
Cependant cela me paraît léger et pas très mathématique ou rigoureux comme explication.
Par la suite l'exercice propose de résoudre ces problèmes avec des valeurs (lambda = 20, p=0,53) mais cela me semble plus important d'avoir les explications générales, surtout que vu que je découvre, comprendre est plus intéressant qu'avoir la réponse.
Merci beaucoup pour toute indication ou toute explication.
Bonne journée.
je découvre les statistiques et l'exercice de fin de chapitre suivant me pose problème.
Toute aide est la bienvenue.
Un commerce reçoit N client par saison, avec N~Poisson(lambda). la probabilité qu'un client achète le produit est de p.
Le profit de chaque produit vendu est de x. Chaque produit restant est entreposé pour la saison suivante à un coût de y.
i) Soit X="nombre de clients qui achètent le produit" et Y="nombre de clients qui ne l'achètent pas". Ces deux variable sont elles indépendantes ?
ii) Trouver n le nombre de produits stockés pour maximiser le profit moyen du commerce.
Pour la première question, il me semble que non elles ne le sont pas car on peut formuler X~Poisson(lambda*p) et Y~Poisson(lambda*(1-p)), puis utiliser P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y). mais je ne vois pas comment tirer parti de cette formule.
Pour la seconde, j'ai supposé que le profit moyen par saison était égal à P(X<=n)*x = P(Y<=n)*y.
Cependant cela me paraît léger et pas très mathématique ou rigoureux comme explication.
Par la suite l'exercice propose de résoudre ces problèmes avec des valeurs (lambda = 20, p=0,53) mais cela me semble plus important d'avoir les explications générales, surtout que vu que je découvre, comprendre est plus intéressant qu'avoir la réponse.
Merci beaucoup pour toute indication ou toute explication.
Bonne journée.
Réponses
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En fait si, elles sont indépendantes. C'est une propriété tout à fait admirable de la loi de Poisson.Pour la première question, il me semble que non elles ne le sont pas car on peut formuler X~Poisson(lambda*p) et Y~Poisson(lambda*(1-p)), puis utiliser P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y). mais je ne vois pas comment tirer parti de cette formule.
C'est un peu bizarre que tu saches que $X$ et $Y$ sont de Poisson, sans que tu saches qu'elles sont indépendantes aussi. -
Merci beaucoup pour ta réponse ! Je ne vois pas de quelle propriété il s'agit (je n'ai pas encore de cours, je me prépare pour une reprise des études donc je l'ai peut être loupé). Pour ce qui est de X et Y sont de poisson j'ai suivi le principe :
''si A est un processus de Poisson de paramètre lambda et si B est le processus qui consiste à tirer une valeur de A (un ensemble dénombrable de points) et à choisir de garder chaque point avec la probabilité p indépendamment des autres points, alors B est un processus de Poisson de paramètre lambda*p '' -
$\newcommand{\var}{\mathrm{var}}$Ah, bah bravo de connaître cette propriété, c'est excellent !
Il y a peut-être une remarque dans ton cours qui te dit que $X,Y$ sont indépendantes, sinon, il va sans doute falloir le démontrer à la main.
En tous cas, on voit immédiatement que $X,Y$ sont décorrélées puisque $\var(X)+\var(Y) = \var(\underbrace{X+Y}_{=N})$. -
Pour le démontrer à la main je suppose qu'il faut utiliser P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y), mais je vois pas comment on peut appliquer ça pour x et y tout réel. En fait c'est surtout la partie P(X=x,Y=y) qui me pose problème. Comment passe-t-on de la version générale à la spécifique?
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