Loi jointe

math65
math65
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
dans une population, il y a 60% de non-fumeurs et le reste de fumeurs.
le nombre de personnes qui rentre dans un lieu public suit une loi de [large]P[/large]oisson de paramètre $\lambda$.
1) Déterminer la loi jointe suivie par X : nombre de fumeurs qui entrent dans le lieu et Y : nombre de non-fumeur qui entre dans le lieu.

$P(X=s;Y=t) =\frac{\lambda^{t+s}}{(t+s)!}e^{-\lambda}{s+t \choose s} \times 0,40^s \times 0,6^t$
juste ?
merci

2) Déterminer la loi marginale de X

Je ne vois pas

3) Déterminer si X et Y sont indépendantes

Je pense que X et Y sont indépendantes mais pour mieux répondre, j'ai besoin de la réponse au 2)

4) Reprendre les questions dans le cas où le nombre de personnes entrant dans le lieu public est fixé.

a) $P(X=t;Y=s) ={ s+t\choose t} \times 0,40^s \times 0,6^t$
juste ?

b) $P(X=s)={n \choose s} \times 0,40^s \times 0,6^{n-s}$ avec $n$ le nombre fixe de personnes qui entrent
juste ?

c) X et Y ne sont pas indépendantes car $P(X,Y) \ne P(X)\times P(Y)$
juste ?

[Siméon Poisson (1781-1840) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • math65
    math65
    Pour 2), il faudrait que je trouve
    $P(X, Y \in \mathbb R^+ ) $ mais comment ?
  • math65
    math65
    Est-ce que quelqu'un peut m'indiquer si le raisonnement tient la route ?
    Merci.
  • gerard0
    gerard0
    OK.

    Dès le départ, il y a le problème de notation qu'on t'a déjà signalé : Il n'y a pas de fonction $P$ d'arguments $X$ et $Y$. Juste une loi jointe que tu peux appeler f et on aura $f(s,t)=P(X=s,Y=t)$
    Je ne trouve pas comme toi, puisqu'à priori, s est le nombre de fumeurs qui rentrent, et ils représentent 60% de la population (On suppose que la probabilité d'être fumeur quand on rentre dans ce lieu est la même que dans la population générale).

    Pour la question 2, où est le souci ? Tu n'as pas de cours sur les variables discrètes ? Quel est l'ensemble des valeurs possibles de X ?

    Pour la question 3, tu manques vraiment d'intuition sur la notion d'indépendance. Tu devrais revenir à la signification de "variables indépendantes", traduite en termes élémentaires. Peut-être même à tes cours de base : événements indépendants ("être fumeur" et "être non fumeur" sont des événements contraires. Des événements contraires sont-ils indépendants ?).

    Pour la suite, tout dépend de la notion de "fixé", qui semble changer pour toi entre a et b.

    Cordialement.
  • math65
    math65
    Pour la question 1, la proportion de fumeur dans la population est 40 % ( pas 60%).

    Voici comment je raisonne :

    Si on veut connaître la probabilité que $X=s$ et $Y=t$. Il faut déjà déterminer la probabilité qu'il y ait $s+t$ personnes qui rentre donner par $\frac{\lambda^{t+s}}{(t+s)!}e^{-\lambda}$ (loi de Poisson).

    Puis, parmi ces personnes, on calcule la probabilité qu'il y ait $s$ fumeurs avec la loi binomiale de paramètre 0,4 et (s+t) : $ {s+t \choose s} \times 0,40^s \times 0,6^t$

    D'où la multiplication :$ P(X=s;Y=t)=\frac{\lambda^{t+s}}{(t+s)!}e^{-\lambda}{s+t \choose s} \times 0,40^s \times 0,6^t$
  • gerard0
    gerard0
    Ah, désolé, j'ai mal lu (depuis le début !!).

    J'ai fait le même raisonnement que toi. Et avec la rectification, je trouve comme toi. Passe à la question 2, qui donne une loi connue.
  • math65
    math65
    Pour 2),

    $P(X=s)=P(X=s; Y \in \mathbb{N}) = \frac{(\lambda 0,4)^s}{s!} e^{-\lambda}\sum_{i=0}^{+ \infty} \frac{(\lambda 0,6)^i}{i!} $

    je cherche la valeur de $\sum_{i=0}^{+ \infty} \frac{(\lambda 0,6)^i}{i!} $
  • marsup
    marsup
    Coucou,
    $$
    \sum_{i=0}^{+ \infty} \frac{(\lambda 0,6)^i}{i!} = \exp(\lambda \cdot 0{,}6).

    $$ C'est toute l'idée de la loi de Poisson...
  • math65
    math65
    OK, donc

    $P(X=s)=P(X=s; Y \in \mathbb{N}) = \frac{(\lambda 0,4)^s}{s!} e^{-\lambda}\sum_{i=0}^{+ \infty} \frac{(\lambda 0,6)^i}{i!}=\frac{(\lambda 0,4)^s}{s!} e^{-0,4 \lambda}$

    Ainsi, $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $0,4 \lambda$

    De la même manière, on peut montrer que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $0,6 \lambda$.

    3) On en déduit que $X$ et $Y$ sont indépendantes car on a $P(X=s;Y=t)=P(X=s)P(Y=t)$
  • gerard0
    gerard0
    Tu peux détailler comment tu obtiens $P(X=s;Y=t)=P(X=s)P(Y=t)$ ?
  • math65
    math65
    @gerard

    $P(X=s;Y=t)=\frac{\lambda^{t+s}}{(t+s)!}e^{-\lambda}{s+t \choose s} \times 0,40^s \times 0,6^t = \\
    \frac{(0,40 \lambda)^{s}(0,60 \lambda)^{t}}{s! t!}e^{-0,4 \lambda}e^{-0,6 \lambda}= \\
    \frac{(0,40 \lambda)^{s}}{ s!}e^{-0,4 \lambda}\frac{(0,60 \lambda)^{t}}{t!}e^{-0,6 \lambda}=\\
    P(X=s)P(Y=t)$

    Finalement, $X$ et $Y$ était bien indépendantes, mais par la suite lorsque on nous impose que le nombre de personnes qui entrent dans le lieu public est fixe : $n$, on a $X$ et $Y$ non indépendantes. On le sentait un peu dans l'esprit de l'exercice.
  • marsup
    marsup
    (copié-collé-corrigé le LaTeX)

    $$\begin{align}
    P(X=s;Y=t)& =\frac{\lambda^{t+s}}{(t+s)!}e^{-\lambda}{s+t \choose s} \times 0,40^s \times 0,6^t
    \frac{(0,40 \lambda)^{s}(0,60 \lambda)^{t}}{s! t!}e^{-0,4 \lambda}e^{-0,6 \lambda} \\
    & = \frac{(0,40 \lambda)^{s}}{ s!}e^{-0,4 \lambda}\frac{(0,60 \lambda)^{t}}{t!}e^{-0,6 \lambda}\\
    & = P(X=s)P(Y=t)\\
    \end{align}
    $$
  • gerard0
    gerard0
    OK.

    Voilà donc un de ces cas où le calcul contredit l'intuition (j'en ai vu d'autres). Mais à condition de faire le calcul !!

    A public fixé, là, plus de souci : la connaissance de la valeur de X donne celle de la valeur de Y.

    Cordialement.
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