Densité marginale à partir de densité jointe
Bonjour,
À partir de la densité jointe
$f(x, y)= \frac{4y} {x^3} 1_{(0\leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq x^2)}$
Je cherche à trouver $ f(y) $.
Pour cela, je fais $f(y) = \int_0^1 f(x,y) dx = \int_0^1\frac{4y} {x^3} 1_{( 0 \leq y \leq x^2)} dx =
[-\frac{2y} {x^2} 1_{( 0 \leq y \leq x^2)} ]_0^1
$
Mais après, on se retrouve avec une limite infinie, ou je ne sais pas calculer car $ 1_{( 0 \leq y \leq x^2)} $ influe.
Merci.
À partir de la densité jointe
$f(x, y)= \frac{4y} {x^3} 1_{(0\leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq x^2)}$
Je cherche à trouver $ f(y) $.
Pour cela, je fais $f(y) = \int_0^1 f(x,y) dx = \int_0^1\frac{4y} {x^3} 1_{( 0 \leq y \leq x^2)} dx =
[-\frac{2y} {x^2} 1_{( 0 \leq y \leq x^2)} ]_0^1
$
Mais après, on se retrouve avec une limite infinie, ou je ne sais pas calculer car $ 1_{( 0 \leq y \leq x^2)} $ influe.
Merci.
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Réponses
Tu es sûr que f est une densité sur le domaine considéré ?
Cordialement.
$f(x, y)= \frac{4y} {x^3} 1_{(0\leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq x^2)}$
l'énoncé affirme qu'il s'agit d'une densité du couple $(X, Y) $
Merci
Et effectivement, tu as écrit n'importe quoi, car, pour une valeur donnée de y, x ne varie pas de 0 à 1. Fais un dessin pour voir sur quel domaine f est non nulle.
Cordialement.
Pour avoir $f(y) $, je fais $f(y) = \int_{\sqrt{y}} ^{1}f(x,y)dx$, j'ai trouvé $f(y) =2(1-y)$.
C'est mieux ?
J'en déduis que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes car $f(x, y) \neq f(x) f(y)$.
Après, vu la forme du domaine, je ne trouve pas trop surprenant que $(X,Y)$ ne soient pas indépendantes.
Si on a déjà dessiné le nuage de points pour un couple indépendant, on s'aperçoit que ça donne des trucs assez carrés, et pas des formes comme celle-ci.
On me demandait de calculer $E(X)$, $E(Y)$, $VAR(X)$, $VAR(Y)$ et $COV(X,Y)$
je pense pouvoir me débrouiller mais juste pour $COV(X,Y)$, il faut que je calcule $E(XY)$ et donc pour cela, je fais :
$E(XY)=\int_{0} ^{1} \int_{\sqrt{y}} ^{1} f(x,y)\times x \times y \,dx dy$ ?
$E(XY)=\int_{0} ^{1} \int_{\sqrt{y}} ^{1} f(x,y)\times x \times y \,dx dy=\int_{0} ^{1} \int_{\sqrt{y}} ^{1} \frac{4y}{x^3}\times x \times y \,dx dy =\int_{0} ^{1} \big[\frac{-4y^2}{x}\big]_{\sqrt{y}}^1 dy=\frac{4}{15}$.
Par ailleurs, je trouve $E(X)=1$ et $E(Y)=1$.
Ainsi $COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-\frac{11}{15}$.