Loi de couple $T=\min(X;Y)$ et $Z=\max(X;Y)$

math65
math65
dans Probabilités, théorie de la mesure
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $[0;1]$.
On définit $T= \min(X;Y)$ et $Z=\max(X;Y)$.

J'ai réussi à trouver $cov(Z,T) = \frac{1}{36}$.
J'ai trouvé les lois de $T$ et $Z$.
Comment puis-je trouver la loi du couple $(T;Z)$ ?
Merci.

Réponses

  • marsup
    marsup
    Le couple $(T,Z)$ est uniforme sur $\{0 \le t \le z \le 1\}$, non ?
  • marsup
    marsup
    (moi, j'appelle ça "le pli")
  • math65
    math65
    Comment le prouver?

    je ne connais pas les lois uniforme pour 2 variables.
  • marsup
    marsup
    Qu'est ce que tu connais, alors ?
  • marsup
    marsup
    Sinon, avoir $\min(X,Y) \ge u,\ \max(X,Y) \le v$, ça correspond à un certain polygone, je pense qu'on doit pouvoir trouver son aire.

    Après, on calcule les dérivées partielles, ça doit donner ce que ça doit.
  • math65
    math65
    Est-ce qu'il faut passer par la fonction de répartition $F_{T,Z}$ ou par la densité $f(t,z)$ ou autre?
  • marsup
    marsup
    Si tu trouves la densité conjointe $f(t,z)$, ce sera certainement très bien ! (je crois que ton but est de trouver la loi du couple, donc c'est parfait !)

    Après tu pourras trouver les marginales $f(t)$ et $f(z)$ si tu as envie de les connaître...
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