Tribu terminale
Bonjour,
Voici une partie de mon livre (Probalité de Philippe Barbe et Michel Ledoux) sur l’indépendance des variables aléatoires et des tribus terminales.
Après la contruction de l’espace probabilisé pour une infinité dénombrable de variables aléatoires, les auteurs définissent la tribu terminale et commencent mes problèmes de comprehension.
Définition IV.3.2 : Je reprends cette définition en utilisant :
$\tau_{n}=\sigma(X_{n})$ avec $X_{n}$, une variable aléatoire de bernoulli définie de cette façon:
$X_{n}: \omega \in ]-\infty;0], X(\omega)=0$ et $\omega \in ]0,+\infty;0[, X(\omega)=1$
on a alors:
$ \sigma(X_{n})=\left\{ (E_{1}; ... ;E_{n-1};\mathbb{R}^{+\ast};E_{n+1};...) ;(E_{1}; ... ;E_{n-1};\mathbb{R}^{-};E_{n+1};...); \Omega;\emptyset \right\}$
Puis:
$A_{n}=\sigma(\tau_{n};\tau_{n+1};...)$=$\left\{(E_{1}; ... ;E_{n-1};X_{1};X_{2}...)\right\}\bigcup_{}^{}\left\{ \emptyset \right\}$ avec $X_{i} \in \left\{ \mathbb{R}^{-};\mathbb{R}^{+ \ast};E_{i}\right\}$
et $\bigcap_{n \in \mathbb{N}}^{}A_{n}=A_{\infty}=\left\{ \Omega ; \emptyset \right\}$
Mon exemple est-il correct ? Est-il trop simple pour voir la subtilité de la tribu terminale (car avec mon exemple je n'en vois pas l’intérêt ...) ?
Dans l'exemple IV.3.4: (i) l'auteur dit que sur cet espace probabilisé (construit pour les variables aléatoires dénombrables):
$A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}}^{} \bigcup_{m \ge n}^{} A_{m}=\left\{ A_{n} ~a ~lieu~ une~ infinité ~de~ fois \right\}$
Je comprends que si $A_{n} $ a lieu une inifinité de fois alors $A_{n} \subset A$ mais je ne comprends pas pourquoi $A \subset \left\{ A_{n} ~a ~lieu~ une~ infinité ~de~ fois \right\}$
Autre question: si dans la suite $(A_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ un des $A_{n}$ apparait plusieurs fois (sous forme de $A_{m}$ et $A_{q}$ alors que c'est une suite d'évènements indépendants alors $P(A_{m}\bigcap_{}^{}A_{q})=P(A_{m})=P(A_{m})*P(A_{q})=P(A_{m})^{2}$ (car $A_{m}$ doit être indépendant de $A_{q}$ d’où forcement $P(A_{m})$=1 ou 0.
Quelqu'un peut-il m'éclairer sur ces questions svp ?
Merci beaucoup
Nicolas
Voici une partie de mon livre (Probalité de Philippe Barbe et Michel Ledoux) sur l’indépendance des variables aléatoires et des tribus terminales.
Après la contruction de l’espace probabilisé pour une infinité dénombrable de variables aléatoires, les auteurs définissent la tribu terminale et commencent mes problèmes de comprehension.
Définition IV.3.2 : Je reprends cette définition en utilisant :
$\tau_{n}=\sigma(X_{n})$ avec $X_{n}$, une variable aléatoire de bernoulli définie de cette façon:
$X_{n}: \omega \in ]-\infty;0], X(\omega)=0$ et $\omega \in ]0,+\infty;0[, X(\omega)=1$
on a alors:
$ \sigma(X_{n})=\left\{ (E_{1}; ... ;E_{n-1};\mathbb{R}^{+\ast};E_{n+1};...) ;(E_{1}; ... ;E_{n-1};\mathbb{R}^{-};E_{n+1};...); \Omega;\emptyset \right\}$
Puis:
$A_{n}=\sigma(\tau_{n};\tau_{n+1};...)$=$\left\{(E_{1}; ... ;E_{n-1};X_{1};X_{2}...)\right\}\bigcup_{}^{}\left\{ \emptyset \right\}$ avec $X_{i} \in \left\{ \mathbb{R}^{-};\mathbb{R}^{+ \ast};E_{i}\right\}$
et $\bigcap_{n \in \mathbb{N}}^{}A_{n}=A_{\infty}=\left\{ \Omega ; \emptyset \right\}$
Mon exemple est-il correct ? Est-il trop simple pour voir la subtilité de la tribu terminale (car avec mon exemple je n'en vois pas l’intérêt ...) ?
Dans l'exemple IV.3.4: (i) l'auteur dit que sur cet espace probabilisé (construit pour les variables aléatoires dénombrables):
$A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}}^{} \bigcup_{m \ge n}^{} A_{m}=\left\{ A_{n} ~a ~lieu~ une~ infinité ~de~ fois \right\}$
Je comprends que si $A_{n} $ a lieu une inifinité de fois alors $A_{n} \subset A$ mais je ne comprends pas pourquoi $A \subset \left\{ A_{n} ~a ~lieu~ une~ infinité ~de~ fois \right\}$
Autre question: si dans la suite $(A_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ un des $A_{n}$ apparait plusieurs fois (sous forme de $A_{m}$ et $A_{q}$ alors que c'est une suite d'évènements indépendants alors $P(A_{m}\bigcap_{}^{}A_{q})=P(A_{m})=P(A_{m})*P(A_{q})=P(A_{m})^{2}$ (car $A_{m}$ doit être indépendant de $A_{q}$ d’où forcement $P(A_{m})$=1 ou 0.
Quelqu'un peut-il m'éclairer sur ces questions svp ?
Merci beaucoup
Nicolas
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Réponses
Pour ta question sur $A$, il s'agit simplement de traduire l'appartenance à $A$ avec des mots : $\omega \in A$ si et seulement si pour tout $n$, il existe $m \geq n$ tel que $\omega \in A_m$, c'est la même chose que de dire que $\omega$ appartient à une infinité de $A_m$.
Je ne comprends rien à ta dernière question non plus, elle est de la forme "si ... alors *quelque chose qui n'a rien à voir avec le si*".
C'est une notion très importante pour l'étude des processus stochastiques. (mais c'est vrai que c'est assez subtil)
Pour ton premier point, tu as raison j'ai corrigé le message avec $\{\Omega, \emptyset\}$
"$X_{n}$ ne dépend pas de n": j'essaie d'implémenter la Définition IV.3.2 du cours avec des variables de Bernoulli indépendantes (toutes les mêmes) dans l'espace mesuré $(\Omega,A,P)$ avec $\Omega=\Pi E_{i}$ et $X_{n}$ V.A. de $E_{n}(=\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$. On peut prendre $E_{i}=\mathbb{R}$. (j'aurais pu le marquer directement, désolé).
$A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}}^{} \bigcup_{m \ge n}^{} A_{m}=\left\{ A_{n} ~a ~lieu~ une~ infinité ~de~ fois \right\}$
Donc a ton avis, la troisième partie de cette égalité ne veut dire l'ensemble des $A_{n}$ qui se répètent une infinité de fois ?
Parce que si non, je comprends, $\omega \in A$ ssi pour tout n $\in \mathbb{N}, \exists m \ge n$ tel que $\omega \in A_{m}$.
J'ai regardé dans Wikipédia et trouvé quelques cours sur internet mais je n'y vois pas beaucoup plus clair pour le moment ... Je pense maintenant qu'il voudrait mieux changer le lecteur que le livre !!! :-)
Tu n'es pas le seul à trouver ça dur. Ici, on a des questions un peu comme les tiennes : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,711749,711814
L'intervenant mao a l'air d'avoir trouvé cette conversation utile.
Ce n'est pas insurmontable non plus. Je n'ai pas l'impression que le cours que tu as posté soit spécialement problématique. Des fois, il faut juste un peu de patience, et ça se débloque !
Merci pour votre aide, il me semble (dès fois, j'ai des retours en arrière quand je trouve quelque chose qui cloche) que j'ai compris.
Ce sont ces exemples dans ce polycopiés qui m'ont éclairés (si quelqu'un se pose les mêmes questions):
https://perso.univ-rennes1.fr/jean-christophe.breton/Fichiers/proba_base.pdf
L'intersection "infinie" d'un ensemble infini de tribus ne me semblait pas contenir d'événements mais avec ces 2 exemples je comprends l'existence de ces fameux événements "asymptotiques". Merci beaucoup (les maths c'est énorme !!! (:P) )
Nicolas