Tribu terminale

Bonjour,

Voici une partie de mon livre (Probalité de Philippe Barbe et Michel Ledoux) sur l’indépendance des variables aléatoires et des tribus terminales.
Après la contruction de l’espace probabilisé pour une infinité dénombrable de variables aléatoires, les auteurs définissent la tribu terminale et commencent mes problèmes de comprehension.

Définition IV.3.2 : Je reprends cette définition en utilisant :
$\tau_{n}=\sigma(X_{n})$ avec $X_{n}$, une variable aléatoire de bernoulli définie de cette façon:
$X_{n}: \omega \in ]-\infty;0], X(\omega)=0$ et $\omega \in ]0,+\infty;0[, X(\omega)=1$

on a alors:
$ \sigma(X_{n})=\left\{ (E_{1}; ... ;E_{n-1};\mathbb{R}^{+\ast};E_{n+1};...) ;(E_{1}; ... ;E_{n-1};\mathbb{R}^{-};E_{n+1};...); \Omega;\emptyset \right\}$
Puis:
$A_{n}=\sigma(\tau_{n};\tau_{n+1};...)$=$\left\{(E_{1}; ... ;E_{n-1};X_{1};X_{2}...)\right\}\bigcup_{}^{}\left\{ \emptyset \right\}$ avec $X_{i} \in \left\{ \mathbb{R}^{-};\mathbb{R}^{+ \ast};E_{i}\right\}$
et $\bigcap_{n \in \mathbb{N}}^{}A_{n}=A_{\infty}=\left\{ \Omega ; \emptyset \right\}$

Mon exemple est-il correct ? Est-il trop simple pour voir la subtilité de la tribu terminale (car avec mon exemple je n'en vois pas l’intérêt ...) ?

Dans l'exemple IV.3.4: (i) l'auteur dit que sur cet espace probabilisé (construit pour les variables aléatoires dénombrables):
$A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}}^{} \bigcup_{m \ge n}^{} A_{m}=\left\{ A_{n} ~a ~lieu~ une~ infinité ~de~ fois \right\}$
Je comprends que si $A_{n} $ a lieu une inifinité de fois alors $A_{n} \subset A$ mais je ne comprends pas pourquoi $A \subset \left\{ A_{n} ~a ~lieu~ une~ infinité ~de~ fois \right\}$
Autre question: si dans la suite $(A_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ un des $A_{n}$ apparait plusieurs fois (sous forme de $A_{m}$ et $A_{q}$ alors que c'est une suite d'évènements indépendants alors $P(A_{m}\bigcap_{}^{}A_{q})=P(A_{m})=P(A_{m})*P(A_{q})=P(A_{m})^{2}$ (car $A_{m}$ doit être indépendant de $A_{q}$ d’où forcement $P(A_{m})$=1 ou 0.
Quelqu'un peut-il m'éclairer sur ces questions svp ?
Merci beaucoup
Nicolas