Extraction diagonale pour la CV p.s.

mehdi · April 2021

Bonjour

Soit $X,\ (X_{n}^{(k)})_{n}$ une suite des v.a.r tq :
$$ \forall k\geq 1,\qquad X_{n}^{(k)}\xrightarrow[n]{~p.s.~} X.

$$ Est ce qu'il peut exister une sous-suite $(n_{k})\;$ telle que
$$ X_{n_{k}}^{(k)}\xrightarrow[k]{~p.s.~} X .

$$ Merci beaucoup.

marsup · April 2021

?

Est ce qu'il peut ?

Si tout le monde vaut 0, ça doit pouvoir se faire, oui.

marsup · April 2021

Et puis dans la deuxième formule, la limite se fait sur k, j'imagine !

Poirot · April 2021

Sauf erreur, la réponse est oui si $\Omega$ est dénombrable ou si la convergence p.s. est uniforme à $k$ fixé. Sans ce genre d'hypothèse, je ne vois vraiment pas comment réaliser avec succès l'extraction et donc j'ai tendance à penser qu'on doit pouvoir construire un contre-exemple en brisant violemment ces hypothèses.

Calli · April 2021

Bonjour,
Poirot, est-que tu connais le théorème d'Egoroff qui dit que si $X_n\to X$ p.s. alors, pour tout $\varepsilon >0$, il existe un évènement $A$ tel que $\Bbb P(A)\geqslant 1-\varepsilon$ et $X_n\to X$ uniformément sur $A$ ? Ça permet de montrer que la réponse à la question de mehdi (ou plutôt à une reformulation censée de sa question...) est oui. Ça ressemble assez au fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2224022,2224022#msg-2224022.

Poirot · April 2021

J'avais oublié Egoroff, merci.

Extraction diagonale pour la CV p.s.

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