X+Y et X-Y indépendantes ?

math65
math65
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

$X$ et $Y$ suivent une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et sont indépendantes.

Est-ce que $X+Y$ et $X-Y$ sont independantes ? Pourquoi ?

Je précise que l'on me demande la loi du couple après et pas avant.


Merci.

Réponses

  • Lucas
    Lucas
    Bonjour,

    Une conséquence (faible) du fait que $Z,Z'$ sont indépendantes est que le couple $(Z,Z')$ doit vivre dans un ensemble de la forme $A\times B$. Tu peux enquêter de ce côté-là.
  • marsup
    marsup
    D'accord avec Lucas.

    Peut-être peut-on trouver une inégalité (voire un encadrement) entre $X+Y$ et $X-Y$ ?
  • math65
    math65
    $X-Y \leq X+Y$ et ensuite ?
  • math65
    math65
    Est-ce que l'on pourrait dire que ces deux variables sont incompatibles donc indépendantes ? Merci.
  • marsup
    marsup
    variables sont incompatibles donc indépendantes
    :-S

    Utilise simplement l'indication de Lucas en exploitant l'inégalité que tu as trouvée.

    Tu peux faire un dessin dans le plan de l'ensemble des valeurs possibles pour le couple $(S,D)$, et tu verras que ce n'est pas un produit cartésien.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... à priori, "incompatible" concerne des événements, et des événements incompatibles, généralement, ne sont pas du tout indépendants (l'idée intuitive d'événements indépendants est que le fait que l'un se soit produit ne change pas la probabilité de l'autre).

    Cordialement.
  • math65
    math65
    $S=X+Y$ et $D=X-Y$ sont bien contenu dans des ensembles $A$ et $B$. Je ne vois pas pourquoi on ne peut pas dire que $(S;D) $ n'appartiendrai pas à un ensemble de la forme $A \times B$.
  • gerard0
    gerard0
    Qui sont A et B ? Que valent X+Y et X-Y ?

    La question est "est-ce que l'ensemble des valeurs de (Z,Z') est de la forme AxB ?".
  • Lucas
    Lucas
    @math65 J'aurais dû être plus précis : le support de $(Z,Z')$ est très exactement un produit cartésien en cas d'indépendance.
  • math65
    math65
    Donc là, ce n'est pas un produit cartésien, donc elles ne sont pas indépendantes, mais je ne vois pas pourquoi.

    Un produit cartésien, c'est juste $A \times B$ avec $A$ et $B$ quelconques ?
  • gerard0
    gerard0
    Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $ P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ n'est non nul que si $P(X=x)$ et $P(Y=y)$ le sont, et est nul dès que $P(X=x)$ ou $P(Y=y)$ est nul. Finalement $\{(x,y)\mid P(X=x,Y=y)\neq 0\}=\{(x,y)\mid P(X=x)\neq0\}\times \{(x,y)\mid P(Y=y)\neq 0\}$.
  • math65
    math65
    La seule chose d'où je peux partir est $X-Y \leq X+Y $. Les variables ne sont jamais égales sauf lorsque $Y=0$. $X$ et $Y$ suivent la loi exponentielle.


    Je comprends la signification de deux variables indépendantes. Mais ici désolé, je ne vois pas.
  • marsup
    marsup
    Salut,

    On peut très bien avoir l'événement $A = [S \ge 1]$. (je veux dire que $P(A) > 0$.)

    On peut très bien avoir l'événement $B = [D \ge 2]$.

    Mais on ne peut pas avoir les deux à la fois : $P(A\cap B) = 0$.

    Donc ces deux événements ne sont pas indépendants. (ils sont incompatibles, comme disait Gerard0 plus haut)

    Donc $S,D$ ne sont pas indépendantes non plus. (elles ont des incompatibilités entre elles)
  • math65
    math65
    C'est vrai, c'est un simple contre exemple. Il me faut du concret pour comprendre. Désolé. Et merci !
  • Namiswan
    Namiswan
    Fun fact: Si X,Y sont des variables aléatoires rélles indépendantes, et si $X+Y$ et $X-Y$ sont indépendantes, alors $X$ et $Y$ suivent une loi normale (éventuellement dégénérée, i.e. constante)
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