Série de pile ou face
Bonjour, je vous (re)demande une petite aide pour un exercice.
On lance une infinité de fois une pièce équilibrée et on note $L_n$ la plus longue séquence de pile consécutifs après $n$ lancers.
Je dois prouver que pour tout $\epsilon>0$, on a presque sûrement à partir d'un certain rang : $L_n \leq (2+\epsilon)\frac{\ln(n)}{\ln(2)}$
Il faut donc que j'arrive à montrer que $\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{P}(L_n \leq (2+\epsilon)\frac{\ln(n)}{\ln(2)})=1$, (en tout cas si j'ai compris compris l'énoncé).
La présence d'un logarithme en base 2 me pousse à croire qu'il faut que je fasse apparaître des puissances de 2 dans mon calcul (ce qui n'est pas étonnant étant donné qu'il s'agit d'un pile ou face), mais je ne vois pas vraiment comment commencer, je ne suis pas super douée quand je n'ai pas d'intuition sur un problème...
Merci de m'avoir lue.
On lance une infinité de fois une pièce équilibrée et on note $L_n$ la plus longue séquence de pile consécutifs après $n$ lancers.
Je dois prouver que pour tout $\epsilon>0$, on a presque sûrement à partir d'un certain rang : $L_n \leq (2+\epsilon)\frac{\ln(n)}{\ln(2)}$
Il faut donc que j'arrive à montrer que $\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{P}(L_n \leq (2+\epsilon)\frac{\ln(n)}{\ln(2)})=1$, (en tout cas si j'ai compris compris l'énoncé).
La présence d'un logarithme en base 2 me pousse à croire qu'il faut que je fasse apparaître des puissances de 2 dans mon calcul (ce qui n'est pas étonnant étant donné qu'il s'agit d'un pile ou face), mais je ne vois pas vraiment comment commencer, je ne suis pas super douée quand je n'ai pas d'intuition sur un problème...
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Réponses
Tu peux commencer à essayer de majorer (pour $n$ fixé)
$$
\mathbb{P}\bigg(L_n > (2+\epsilon)\log_2(n) \bigg).
$$
(Au fait tu es sûre du facteur $2+\epsilon$?) Surtout n'essaie pas de calculer ça de façon exacte mais cherche une majoration. La stratégie est d'écrire
$$
\bigg\{ L_n > (2+\epsilon)\log_2(n) \bigg\} \subset \bigcup_{???} \bigg\{ ??? \bigg\}
$$