$\lim_pE[|X_p-X||\mathcal{F}_p]=0$ p.s

ronaldo.p
ronaldo.p
dans Probabilités, théorie de la mesure
$(X_p)_p$ est une suite de v.a.r convergeant p.s vers $X$ et telle que $|X_p| \leq Y \in L^1.$ $(\mathcal{F}_p)_p$ est une suite croissante de sous-tribu (filtration). Prouver que $E[|X_p-X||\mathcal{F}_p]$ converges p.s et dans $L^1$ vers $0.$

Pour la convergence dans $L^1,$ le résultat est immédiat puisque $$E[E[|X_p-X||\mathcal{F}_p]] \leq E[|X_p-X|] \to 0$$ par le théorème de convergence dominée.

La convergence p.s est plus difficile. En invoquant les théorèmes de convergence des martingales, rien est obtenu, puisqu'on n'a rien sur $E[|X_k-X||\mathcal{F}_k]$ (par exemple $E[X|\mathcal{F}_k]$ est une martingale qui converges p.s). Alors il faut transformer le problème pour vérifier la convergence p.s (en utilisant les inégalités des martingales, un théorème de convergence connu...).
Ce qu'il faut vérifier est $$P(\limsup_k\{E[|X_k-X||\mathcal{F}_k]>\epsilon\})=\lim_kP( \sup_{p \geq k} E[|X_p-X||\mathcal{F}_p]>\epsilon)=0.


$$ Merci d'avance.

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Tu ne l'as pas dit, mais je présume que $Y\in L^1$. Un autre truc que tu n'as pas dit $-$ et là je ne suis pas sûr que ce soit un oubli $-$ c'est si $X_p$ est ${\cal F}_p$-mesurable pour tout $p$. Je vais me placer sous cette hypothèse. Merci de donner confirmation.
    Notons $Z_p := |X_p-X|$ pour simplifier. Soit $\varepsilon >0$. D'après le théorème d'Egoroff, il existe $A \in \bigvee_{p=0}^\infty {\cal F}_p$ tel que $Z_p\to 0$ uniformément sur $A$ et $\Bbb P(A)\geqslant 1-\varepsilon$. Puis $\Bbb E[Z_p\mid {\cal F}_p] = \Bbb E[Z_p {\bf1}_A \mid {\cal F}_p] + \Bbb E[Z_p {\bf1}_{A^c} \mid {\cal F}_p]$. Ensuite, je te laisse continuer et montrer que $\Bbb E[Z_p\mid {\cal F}_p] \to0$ p.s. sur $A$.
  • ronaldo.p
    ronaldo.p
    Bonjour, oui $Y \in L^1.$ On sait rien sur la mesurabilité des $X_p$!
  • Calli
    Calli
    Ah. Mais si ${\cal F}_\infty := \bigvee_{p=0}^\infty {\cal F}_p$ est égale à la tribu totale de $\Omega$, ce que j'ai dit marche aussi (en fait ça marche si les $X_p$ sont toutes ${\cal F}_\infty$-mesurables).
  • Calli
    Calli
    En fait, le début de preuve que j'ai écrit aboutit aussi sans hypothèse supplémentaire sur $(X_p)$ et $({\cal F}_p)$ :-). Simplement, on obtient dans l'étape intermédiaire un truc moins fort que $\Bbb E[Z_p\mid{\cal F}_p ] \to 0$ p.s. sur $A$ ; on obtient $\limsup\limits_{p\to \infty}\Bbb E[Z_p\mid{\cal F}_p ] \leqslant \Bbb E[2Y {\bf1}_{A^c} \mid{\cal F}_\infty ] $ p.s. sur $A$.
  • ronaldo.p
    ronaldo.p
    Que faire sur l'ensemble $A^c\ ? $

    En fait, une idée proche de votre (convergence en mesure...), c'est d'écrire
    $$E[|X_p-X||\mathcal{F}_p] \leq \frac{1}{r}+2E[Y1_{\{|X_p-X|>\frac{1}{r}\}}|\mathcal{F}_p] \leq \frac{1}{r} + E[Y1_{\bigcup_{q \geq k}\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}}|\mathcal{F}_p].

    $$ On prend $p \to \infty$ puis successivement $ k \to \infty,\ r\to \infty,$ en considérant les étapes suivantes
    $$E[Y1_{\bigcup_{q \geq k}\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}}|\mathcal{F}_p] \to_{p \to \infty} E[Y1_{\bigcup_{q \geq k}\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}}|\mathcal{F}_{\infty}],
    $$ où $\mathcal{F}_{\infty}=\sigma(\bigcup_k\mathcal{F}_k)$
    puis le théorème de convergence dominée : $Y1_{\bigcup_{q \geq k}\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}} \to _{k \to \infty}Y1_{\limsup_q\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}}=0$ pusique $P(\limsup_q\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\})=0$.
  • ronaldo.p
    ronaldo.p
    On aboutit a une généraliation pour la convergence de $E[Y|\mathcal{F}_n],$ en d'autres termes si $X_k$ converge p.s vers $X,$ $\ |X_k| \leq Y \in L^1$ alors $E[X_k|\mathcal{F}_k]$ converges p.s vers $E[X|\mathcal{F}_{\infty}],$ le résultat est vrai pour filtrations renversées !
  • ronaldo.p
    ronaldo.p
    On pourra dire que l'indexation optimisée!
  • Calli
    Calli
    On dirait donc que tu as trouvé une solution tout seul.

    Alors je détaille un peu plus ce à quoi je pensais. D'après le théorème d'Egoroff, pour tout $n$, il existe $A_n$ tel que $\Bbb P(A_n^c) < \frac1n$ et $Z_p\to 0$ uniformément sur $A_n$. Quitte à remplacer $A_n$ par $\bigcup_{k=1}^n A_k$, on peut supposer la suite $(A_n)$ croissante. Ainsi, ${\bf1}_{A_n^c}\underset{n\to\infty}\longrightarrow 0$ p.s..
    Alors $Z_p {\bf1}_{A_n} \underset{p\to\infty}\longrightarrow 0$ uniformément. Donc p.s. $$
    \begin{eqnarray*}
    \limsup_{p\to\infty} \Bbb E[Z_p\mid {\cal F}_p] &=& \limsup_{p\to\infty} \,(\Bbb E[Z_p {\bf1}_{A_n} \mid {\cal F}_p] + \Bbb E[Z_p {\bf1}_{A_n^c} \mid {\cal F}_p])\\
    &\leqslant & \lim_{p\to\infty} \|Z_p {\bf1}_{A_n} \|_\infty + \lim_{p\to\infty}\Bbb E[2Y {\bf1}_{A_n^c} \mid {\cal F}_p]\\
    &=& \Bbb E[2Y {\bf1}_{A_n^c} \mid {\cal F}_\infty]\\
    &\underset{n\to\infty}\longrightarrow 0.
    \end{eqnarray*}
    $$ C'est en fait un peu plus simple que ce que j'avais dit car pas besoin de séparer les cas $\omega \in A_n$ et $\omega\in A_n^c$.
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