$\lim_pE[|X_p-X||\mathcal{F}_p]=0$ p.s
$(X_p)_p$ est une suite de v.a.r convergeant p.s vers $X$ et telle que $|X_p| \leq Y \in L^1.$ $(\mathcal{F}_p)_p$ est une suite croissante de sous-tribu (filtration). Prouver que $E[|X_p-X||\mathcal{F}_p]$ converges p.s et dans $L^1$ vers $0.$
Pour la convergence dans $L^1,$ le résultat est immédiat puisque $$E[E[|X_p-X||\mathcal{F}_p]] \leq E[|X_p-X|] \to 0$$ par le théorème de convergence dominée.
La convergence p.s est plus difficile. En invoquant les théorèmes de convergence des martingales, rien est obtenu, puisqu'on n'a rien sur $E[|X_k-X||\mathcal{F}_k]$ (par exemple $E[X|\mathcal{F}_k]$ est une martingale qui converges p.s). Alors il faut transformer le problème pour vérifier la convergence p.s (en utilisant les inégalités des martingales, un théorème de convergence connu...).
Ce qu'il faut vérifier est $$P(\limsup_k\{E[|X_k-X||\mathcal{F}_k]>\epsilon\})=\lim_kP( \sup_{p \geq k} E[|X_p-X||\mathcal{F}_p]>\epsilon)=0.
$$ Merci d'avance.
Pour la convergence dans $L^1,$ le résultat est immédiat puisque $$E[E[|X_p-X||\mathcal{F}_p]] \leq E[|X_p-X|] \to 0$$ par le théorème de convergence dominée.
La convergence p.s est plus difficile. En invoquant les théorèmes de convergence des martingales, rien est obtenu, puisqu'on n'a rien sur $E[|X_k-X||\mathcal{F}_k]$ (par exemple $E[X|\mathcal{F}_k]$ est une martingale qui converges p.s). Alors il faut transformer le problème pour vérifier la convergence p.s (en utilisant les inégalités des martingales, un théorème de convergence connu...).
Ce qu'il faut vérifier est $$P(\limsup_k\{E[|X_k-X||\mathcal{F}_k]>\epsilon\})=\lim_kP( \sup_{p \geq k} E[|X_p-X||\mathcal{F}_p]>\epsilon)=0.
$$ Merci d'avance.
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Réponses
Tu ne l'as pas dit, mais je présume que $Y\in L^1$. Un autre truc que tu n'as pas dit $-$ et là je ne suis pas sûr que ce soit un oubli $-$ c'est si $X_p$ est ${\cal F}_p$-mesurable pour tout $p$. Je vais me placer sous cette hypothèse. Merci de donner confirmation.
Notons $Z_p := |X_p-X|$ pour simplifier. Soit $\varepsilon >0$. D'après le théorème d'Egoroff, il existe $A \in \bigvee_{p=0}^\infty {\cal F}_p$ tel que $Z_p\to 0$ uniformément sur $A$ et $\Bbb P(A)\geqslant 1-\varepsilon$. Puis $\Bbb E[Z_p\mid {\cal F}_p] = \Bbb E[Z_p {\bf1}_A \mid {\cal F}_p] + \Bbb E[Z_p {\bf1}_{A^c} \mid {\cal F}_p]$. Ensuite, je te laisse continuer et montrer que $\Bbb E[Z_p\mid {\cal F}_p] \to0$ p.s. sur $A$.
En fait, une idée proche de votre (convergence en mesure...), c'est d'écrire
$$E[|X_p-X||\mathcal{F}_p] \leq \frac{1}{r}+2E[Y1_{\{|X_p-X|>\frac{1}{r}\}}|\mathcal{F}_p] \leq \frac{1}{r} + E[Y1_{\bigcup_{q \geq k}\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}}|\mathcal{F}_p].
$$ On prend $p \to \infty$ puis successivement $ k \to \infty,\ r\to \infty,$ en considérant les étapes suivantes
$$E[Y1_{\bigcup_{q \geq k}\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}}|\mathcal{F}_p] \to_{p \to \infty} E[Y1_{\bigcup_{q \geq k}\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}}|\mathcal{F}_{\infty}],
$$ où $\mathcal{F}_{\infty}=\sigma(\bigcup_k\mathcal{F}_k)$
puis le théorème de convergence dominée : $Y1_{\bigcup_{q \geq k}\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}} \to _{k \to \infty}Y1_{\limsup_q\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\}}=0$ pusique $P(\limsup_q\{|X_q-X|>\frac{1}{r}\})=0$.
Alors je détaille un peu plus ce à quoi je pensais. D'après le théorème d'Egoroff, pour tout $n$, il existe $A_n$ tel que $\Bbb P(A_n^c) < \frac1n$ et $Z_p\to 0$ uniformément sur $A_n$. Quitte à remplacer $A_n$ par $\bigcup_{k=1}^n A_k$, on peut supposer la suite $(A_n)$ croissante. Ainsi, ${\bf1}_{A_n^c}\underset{n\to\infty}\longrightarrow 0$ p.s..
Alors $Z_p {\bf1}_{A_n} \underset{p\to\infty}\longrightarrow 0$ uniformément. Donc p.s. $$
\begin{eqnarray*}
\limsup_{p\to\infty} \Bbb E[Z_p\mid {\cal F}_p] &=& \limsup_{p\to\infty} \,(\Bbb E[Z_p {\bf1}_{A_n} \mid {\cal F}_p] + \Bbb E[Z_p {\bf1}_{A_n^c} \mid {\cal F}_p])\\
&\leqslant & \lim_{p\to\infty} \|Z_p {\bf1}_{A_n} \|_\infty + \lim_{p\to\infty}\Bbb E[2Y {\bf1}_{A_n^c} \mid {\cal F}_p]\\
&=& \Bbb E[2Y {\bf1}_{A_n^c} \mid {\cal F}_\infty]\\
&\underset{n\to\infty}\longrightarrow 0.
\end{eqnarray*}
$$ C'est en fait un peu plus simple que ce que j'avais dit car pas besoin de séparer les cas $\omega \in A_n$ et $\omega\in A_n^c$.