Loi de Poisson

tgbne · May 2021

Bonjour,

soit X une variable aléatoire discrète suivant la loi de Poisson de paramètre A > 0. On pose Y = cos (Xpi)
1) Les valeurs prises par Y sont dans [-1, 1]
2) et je dois trouver que P(Y=1) = exp(-A)((exp(A)+exp(-A))/2)

Mon raisonnement : Y = 1 = cos(2kpi) avec k entier. Mais je ne parviens pas à ce résultat sachant la loi de [large]P[/large]oisson.
P(X=k) = (exp(-A).A^k)/k!, avec A > 0.
Quelqu'un peut-il m'aider ? Je vous remercie.

[Siméon Poisson (1781-1840) prend toujours une majuscule. AD]

gerard0 · May 2021

Bonjour.

X ne prend que des valeurs entières, donc Y prend ses valeurs dans {-1,1}. Pas dans ]-1,1[.
Y=1 si et seulement si X est pair.

Bon travail !

tgbne · May 2021

Merci, en effet c'est à valeurs dans {-1,1}

Mais je ne comprends toujours pas ce résultat :

P(Y=1) = exp(-A)((exp(A)+exp(-A))/2)

qu'est ce que je loupe ? J'imagine que c'est une histoire de substitution à partir de (exp(-A).A^k)/k! avec A > 0

gerard0 · May 2021

Bonjour.

Manifestement, tu ne fais pas ton exercice !!
"qu'est ce que je loupe ?" : $Y=1$ si et seulement si $X$ est pair.
" je ne comprends toujours pas ce résultat" : Il n'y a pas à la comprendre, seulement à faire les calculs ...

Comme $Y=1$ quand $X$ est pair, $\quad P(Y=1)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} P(X=2k)$
Au travail !!

tgbne · May 2021

Je comprends la démarche mais maintenant c'est le résultat que je ne trouve pas.

P(Y=1) = P(cos(Xpi) = 1) = (somme de k de 0 à +oo) P(X=2k)

Je sais que e^x = (somme k de 0 à +oo) x^k/k!

et donc,

P(Y=1) = e^-a * (somme i de 0 à +oo) a^2k/(2k)!

Et là, j'ai un problème pour le calcul de la somme, je n'arrive pas à conclure : P(Y=1) = e^-a((e^a+e^-a)/2)

Je pense que mon problème vient de l'expression du 2k dans la somme.

bd2017 · May 2021

C'est quoi le DSE de $e^a$ de $e^{-a}$ ?

Chaurien · May 2021

Attention, tgbne ne sait peut-être pas ce qu'est un DSE. Il devrait préciser le type d'enseignement qu'il suit.
Charte 4.3 - précisez votre niveau lorsque vous attendez l’aide d’un intervenant afin que celui-ci puisse se mettre à votre portée.

gerard0 · May 2021

Bonjour Tgbne.
Tu comprendras mieux en partant à l'envers de $\dfrac{e^A + e^{-A}}2 = \dfrac{\sum \frac {A^n}{n!} + \sum \frac {(-A)^n}{n!}}2 = ...$ et tu additionnes terme à terme
Tu peux aussi, si tu connais les fonctions hyperboliques, remarquer que $\dfrac{e^A + e^{-A}}2 = \cosh(A)$ et utiliser la série de somme $\cosh$.

Peux-tu expliquer dans quel cadre tu fais ça (apprentissage autonome, cours de BTS, L1, prépa, L3 sans avoir fait les deux premières années, ...) ?
Cordialement.

gebrane · May 2021

Si tu réussis la question. Bonus calcul de deux façons E(Y)

tgbne · May 2021

En effet, je n'avais pas pensé à regarder le formulaire des développements en séries entières. On y reconnait celle de la fonction ch(x). Puis, en exprimant ch(x) à l'aide de l'exponentiel, j'arrive à conclure. Merci!

Loi de Poisson

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Bonjour!

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