Convergence presque sûre
Bonjour,
Dans mon livre, l'auteur utilise le théorème de convergence monotone pour trouver une limite (entourée en rouge) mais je ne vois rien qui soit croissant et qui puisse justifier l'utilisation du théorème de convergence monotone qui pourtant lui semble évident. Quelqu'un pourrait-il m'aider dans la compréhension de cette partie svp ?
Merci
Nicolas
Dans mon livre, l'auteur utilise le théorème de convergence monotone pour trouver une limite (entourée en rouge) mais je ne vois rien qui soit croissant et qui puisse justifier l'utilisation du théorème de convergence monotone qui pourtant lui semble évident. Quelqu'un pourrait-il m'aider dans la compréhension de cette partie svp ?
Merci
Nicolas
Réponses
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Exercice : si $(f_n)_{n \in N}$ est une suite de fonctions décroissantes positives qui converge simplement vers $f$ définie sur $(E, \mathbb{A}, \mu)$ , telle que $f_1$ soit intégrable, alors :
$$\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_n d\mu = \int_{E} f d\mu$$ -
Il faut d'abord voir que ces deux événements sont égaux, puis voir qu'ils décroissent (pour l'inclusion) quand $m$ grandit.
Edit: sauf que c'est faux. Changer le large en strict. J'ai l'impression que j'ai déjà répondu à cette même question il y a quelques mois.
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Pour ton exercice Purple, je dirais:
$g_{n}=\max(0; 2*f-f_{n})$ est croissante positive et converge vers $f$ (qui est positive).
On applique le théorème de convergence monotone (avec des fonctions croissantes) et on a le même résultat avec des fonctions décroissantes positives (ce qui explique pourquoi le théorème s'appelle théorème de convergence monotone !!!).
Ça tombe bien c'est exactement ce qu'il me fallait pour comprendre le cours ! :-D
Merci beaucoup !
Nicolas. -
Alea, Avec l'indication de Purple, je comprends le cours (avec les égalités larges). Pourquoi faut-il changer et mettre des inégalités strictes stp ?
Merci
Nicolas -
Les deux événements écrits avec un large ne sont pas égaux, alors qu'avec un strict ils le sont.
Bien sûr, ça ne change rien de mettre large ou strict à cause du quantificateur $\forall \epsilon>0$, puisqu'on peut faire des inclusions avec
$(|x|<\epsilon) \Longrightarrow (|x|\le \epsilon) \Longrightarrow (|x|< 2\epsilon)$
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