Convergence presque sûre

anymal34
anymal34
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
Dans mon livre, l'auteur utilise le théorème de convergence monotone pour trouver une limite (entourée en rouge) mais je ne vois rien qui soit croissant et qui puisse justifier l'utilisation du théorème de convergence monotone qui pourtant lui semble évident. Quelqu'un pourrait-il m'aider dans la compréhension de cette partie svp ?
Merci
Nicolas121358

Réponses

  • purple
    purple
    Exercice : si $(f_n)_{n \in N}$ est une suite de fonctions décroissantes positives qui converge simplement vers $f$ définie sur $(E, \mathbb{A}, \mu)$ , telle que $f_1$ soit intégrable, alors :
    $$\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_n d\mu = \int_{E} f d\mu$$
  • aléa
    aléa
    Il faut d'abord voir que ces deux événements sont égaux, puis voir qu'ils décroissent (pour l'inclusion) quand $m$ grandit.


    Edit: sauf que c'est faux. Changer le large en strict. J'ai l'impression que j'ai déjà répondu à cette même question il y a quelques mois.121364
    121368
  • anymal34
    anymal34
    Pour ton exercice Purple, je dirais:
    $g_{n}=\max(0; 2*f-f_{n})$ est croissante positive et converge vers $f$ (qui est positive).
    On applique le théorème de convergence monotone (avec des fonctions croissantes) et on a le même résultat avec des fonctions décroissantes positives (ce qui explique pourquoi le théorème s'appelle théorème de convergence monotone !!!).
    Ça tombe bien c'est exactement ce qu'il me fallait pour comprendre le cours ! :-D
    Merci beaucoup !
    Nicolas.
  • anymal34
    anymal34
    Alea, Avec l'indication de Purple, je comprends le cours (avec les égalités larges). Pourquoi faut-il changer et mettre des inégalités strictes stp ?
    Merci
    Nicolas
  • aléa
    aléa
    Les deux événements écrits avec un large ne sont pas égaux, alors qu'avec un strict ils le sont.

    Bien sûr, ça ne change rien de mettre large ou strict à cause du quantificateur $\forall \epsilon>0$, puisqu'on peut faire des inclusions avec

    $(|x|<\epsilon) \Longrightarrow (|x|\le \epsilon) \Longrightarrow (|x|< 2\epsilon)$
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