Méthode probabiliste
Bonsoir
Je cherche une méthode probabiliste pour calculer l'intégrale de la fonction suivante : exp(-(x^2)/2) entre -2 et 2.
J'ai pensé à la méthode de Monte Carlo et pour appliquer la méthode en question, je considère un point au hasard dans le carré [0,2]x[0,1], et l'évènement suivant : le point est sous la courbe de ma fonction (je note cet évènement E), j'admets dans ce cas que la probabilité que le point soit dans un sous-ensemble A du carré soit proportionnelle à l'aire de A. Je ne vois pas la relation qui existe entre cette probabilité et l'aire de A.
Quelqu'un peut m'éclairer ?
Je cherche une méthode probabiliste pour calculer l'intégrale de la fonction suivante : exp(-(x^2)/2) entre -2 et 2.
J'ai pensé à la méthode de Monte Carlo et pour appliquer la méthode en question, je considère un point au hasard dans le carré [0,2]x[0,1], et l'évènement suivant : le point est sous la courbe de ma fonction (je note cet évènement E), j'admets dans ce cas que la probabilité que le point soit dans un sous-ensemble A du carré soit proportionnelle à l'aire de A. Je ne vois pas la relation qui existe entre cette probabilité et l'aire de A.
Quelqu'un peut m'éclairer ?
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Réponses
Oui c'est ça, donc la probabilité de tomber dans $A$ est $\frac{aire(A)}{aire(rectangle)}$.
Cordialement.
[Isaac Newton (1643-1727) prend toujours une majuscule. AD]
Je cherche une méthode qui est abordable pour des élèves de niveaux secondaire, donc la méthode Newton-Cotes ne sera peut être pas accessible à ce niveau c'est pour ça que j'ai pensé à Monte Carlo.
Cordialement.
Si on la connaît déjà, c'est pas la peine de se fatiguer ? C'était une intervention humoristique ? :-S
Je n'ai pas l'impression que la méthode de Monte Carlo soit bien plus accessible que la méthode des rectangles (*) pour des élèves de terminale. Et ne sachant pas le contexte, j'avais proposé la méthode qui allie rapidité et simplicité.
Cordialement.
(*) conséquence immédiate de la définition des intégrales comme des aires !! Pour éviter les problèmes de précision du résultat, prendre les rectangles à droite, puis les rectangles à gauche ce qui donne un encadrement, et ne fait qu'une seule valeur supplémentaire à calculer (sur un tableur, on décale simplement la somme).
\begin{align*}
\Phi(x) & = \frac12+\frac1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! 2^n (2n+1)} x^{2n+1} \\
& = \frac12+ \frac1{\sqrt{2 \pi}} \left(x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{40}+\cdots\right)
\end{align*}
$$
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale#Approximation_de_la_fonction_de_répartition
(enfin, il faut quand même bien savoir son $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.)
Edit (du mal à la retrouver !) : Question il y a 8 jours sur le forum analyse http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2230006,2230006#msg-2230006
un dessin permet de comprendre que les rectangles à gauche donnent une estimation par excès et les rectangles à droite une estimation par défaut. Puisque ta fonction est décroissante sur [0,2].
C'est du niveau terminale (j'ai eu fait ça avec des STI).
Cordialement.
La fonction est symétrique, avec pour axe de symétrie l'axe des ordonnées. Donc l'intégrale entre 0 et 2 vaut deux fois l'intégrale entre -2 et 2.
Mais moi je veux utiliser la méthode des rectangles, pour ça je considère le rectangle de droite [0,2]x[0,1] et je considère l'évènement : prendre un point au hasard dans le rectangle qui tombe sous la courbe de ma fonction. Je sais qu'il existe un lien de proportionnalité entre cet évènement et l'intégrale mais je n'arrive pas à relier, d'où mon appel à l'aide.
Pour Monte-Carlo, on suppose que le choix des points est uniforme dans le rectangle, ce qui est assuré en prenant une loi uniforme pour l'abscisse et une autre pour l'ordonnée. La probabilité qu'un point tombe dans une surface d'aire A contenu dans le rectangle est proportionnelle à l'aire de A et vaut aire de A sur aire du rectangle. Preuve en décomposant le rectangle est A en carrés de côté $\varepsilon$ et faisant tendre $\varepsilon$ vers 0. Preuve déjà plus difficile que la méthode des rectangles. D'ailleurs, toi qui semble avoir dépassé le niveau de la terminale, tu ne vois pas "le lien" !!
Pourquoi chercher une méthode "abordable pour des élèves de niveaux secondaire" aussi compliquée ? Dans quel cadre as-tu besoin de cela ?
Cordialement.
J'espère être arrivé à la solution.
Cordialement.
EDIT. Il s'agit d'estimer la vitesse de converge induite par la SLLN. D'après ce lien on a, en notant $A$ le domaine du rectangle $[0,2]\times[0,1]$ qui nous intéresse, pour tout $p\in\,]1,2[$
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{\{U_i\in A\}}=\Phi(2)-\Phi(0) + o(n^{1/p-1})
.
$$ Je me demande si on peut faire mieux en choisissant une "meilleure" loi pour les simulations.
J'avais vu des estimations de vitesse de convergence (*), elle sont décevantes (ce qui n'est pas le cas lorsque la dimension augmente, la méthode est très efficace pour calculer des intégrales triples ou quadruples). On peut essayer de réduire la partie qui est au dessus de la courbe (la vitesse s'améliore quand la zone de rejet diminue par rapport à la zone d'acceptation. Mais ça complique l'obtention d'un couple suivant une loi uniforme.
Cordialement.
(*) on doit pouvoir trouver ça dans la littérature, et probablement sur Internet.
je ne comprends pas ce que tu écris à la fin (pourquoi tu écris "je cherche" alors que c'est un fait, et à la fin de la phrase précédente, c'est tellement mal écrit que je ne sais pas ce que tu as écrit.
Prière de rédiger lisiblement.