Sujet Ulm 2021
Bonjour à tous,
Cette année l'épreuve spécifique du concours d'entrée à Ulm portait sur le théorème de Furstenberg-Kesten. En fait l'énoncé propose de démontrer une forme faible dont voici un énoncé :
Soit $S$ une partie finie de $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$, et $(M_i)_{i\geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, identiqument distribuées, dont la loi est supportée par $S$. Alors il existe un $\ell \geqslant 0$ tel que l'on a la convergence $$\frac{1}{n}\log \|M_1 \cdots M_n\| \to \ell$$ en probabilité (la notation $\|A\|$ désignant la norme d'opérateur de $A$).
Cela peut-être vu comme une généralisation de la loi faible des grands nombres. D'ailleurs l'idée de la preuve est d'utiliser une structure sous additive de certains moments de $\log \|M_1 \cdots M_n\|$ pour les faire converger et utiliser la même preuve que la loi faible des grands nombres.
Question : existe-t-il un moyen simple de passer de cette convergence en probabilité à une convergence presque sûre ? Sans aller recopier la preuve d'un théorème ergodique sous-additif bien sûr.
J'ai le sentiment qu'il devrait être possible de le faire parce que :
(1) La convergence en proba donne la convergence presque sûre le long d'une sous-suite.
(2) Si jamais on a une convergence en probabilité quantitative alors on peut être quantitatif sur cette sous-suite, et espérer que les $u_n=\frac{1}{n}\log \|M_1 \cdots M_n\| $ varient lentement de façon à ce que la convergence sur une sous-suite assez peu espacée entraîne la convergence de la suite.
Quelqu'un connaît-il une telle preuve ?
Cette année l'épreuve spécifique du concours d'entrée à Ulm portait sur le théorème de Furstenberg-Kesten. En fait l'énoncé propose de démontrer une forme faible dont voici un énoncé :
Soit $S$ une partie finie de $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$, et $(M_i)_{i\geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, identiqument distribuées, dont la loi est supportée par $S$. Alors il existe un $\ell \geqslant 0$ tel que l'on a la convergence $$\frac{1}{n}\log \|M_1 \cdots M_n\| \to \ell$$ en probabilité (la notation $\|A\|$ désignant la norme d'opérateur de $A$).
Cela peut-être vu comme une généralisation de la loi faible des grands nombres. D'ailleurs l'idée de la preuve est d'utiliser une structure sous additive de certains moments de $\log \|M_1 \cdots M_n\|$ pour les faire converger et utiliser la même preuve que la loi faible des grands nombres.
Question : existe-t-il un moyen simple de passer de cette convergence en probabilité à une convergence presque sûre ? Sans aller recopier la preuve d'un théorème ergodique sous-additif bien sûr.
J'ai le sentiment qu'il devrait être possible de le faire parce que :
(1) La convergence en proba donne la convergence presque sûre le long d'une sous-suite.
(2) Si jamais on a une convergence en probabilité quantitative alors on peut être quantitatif sur cette sous-suite, et espérer que les $u_n=\frac{1}{n}\log \|M_1 \cdots M_n\| $ varient lentement de façon à ce que la convergence sur une sous-suite assez peu espacée entraîne la convergence de la suite.
Quelqu'un connaît-il une telle preuve ?
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Réponses
Products of Random Matrices with Applications to Schrödinger Operators Authors: Bougerol, P., Lacroix Y.
mais ça doit s'y trouver.
J'ai ce livre, sur lequel j'ai travaillé en DEA.
Sauf erreur, le livre, comme le cours que j'ai suivi, n'utilisait pas le théorème ergodique sous-additif, seulement le théorème ergodique.
Dans cette thématique, on peut regarder le sujet d'agrégation 1991 pour l'option probabilité.
https://olivier.garet.xyz/annales-agproba/proba1991.pdf
https://olivier.garet.xyz/annales-agproba/proba1991c.pdf
Je crois qu'on peut révéler aujourd'hui que l'auteur était Hubert Hennion, qui était l'excellent responsable de la prépa agreg de Rennes quand j'y étais étudiant.