Sujet Ulm 2021

Bonjour à tous,

Cette année l'épreuve spécifique du concours d'entrée à Ulm portait sur le théorème de Furstenberg-Kesten. En fait l'énoncé propose de démontrer une forme faible dont voici un énoncé :

Soit $S$ une partie finie de $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$, et $(M_i)_{i\geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, identiqument distribuées, dont la loi est supportée par $S$. Alors il existe un $\ell \geqslant 0$ tel que l'on a la convergence $$\frac{1}{n}\log \|M_1 \cdots M_n\| \to \ell$$ en probabilité (la notation $\|A\|$ désignant la norme d'opérateur de $A$).

Cela peut-être vu comme une généralisation de la loi faible des grands nombres. D'ailleurs l'idée de la preuve est d'utiliser une structure sous additive de certains moments de $\log \|M_1 \cdots M_n\|$ pour les faire converger et utiliser la même preuve que la loi faible des grands nombres.

Question : existe-t-il un moyen simple de passer de cette convergence en probabilité à une convergence presque sûre ? Sans aller recopier la preuve d'un théorème ergodique sous-additif bien sûr.

J'ai le sentiment qu'il devrait être possible de le faire parce que :

(1) La convergence en proba donne la convergence presque sûre le long d'une sous-suite.

(2) Si jamais on a une convergence en probabilité quantitative alors on peut être quantitatif sur cette sous-suite, et espérer que les $u_n=\frac{1}{n}\log \|M_1 \cdots M_n\| $ varient lentement de façon à ce que la convergence sur une sous-suite assez peu espacée entraîne la convergence de la suite.

Quelqu'un connaît-il une telle preuve ?