Loi grands nombres et fonction de répartition

Bonsoir à tous

Soit $ (X_n)_{ n \geq 1 } $ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même fonction de répartition (i.e : de même loi).
Soit $ x \in \mathbb{R} $, et considérons $ Z_i = \mathbb{1}_{ X_{i} \leq x } $.
Les variables aléatoires $ Z_i $ sont indépendantes et de même loi, et $ \mathbb{E} ( Z_i ) = \mathbb{P} (X_i \leq x) = F(x) $.
D'après la loi des grands nombres, $ \ \ \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n \mathbb{1}_{ X_{i} \leq x } \longrightarrow F(x) $ lorsque $ n $ tend vers $ + \infty $, presque sûrement.

Mon cours note $ F_n (x) = \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n \mathbb{1}_{ X_{i} \leq x } $. D'où ma question, $ F_n $ est-elle la fonction de répartition de quelle variable aléatoire ?
Merci d'avance.