Convergence dans $L^2$

diegau · May 2021

Bonjour, je cherche à résoudre les questions suivantes.

Un joueur décide [de] jouer une partie de son capital $\alpha $ de façon aléatoire à chaque partie de pile ou face.
$k_{n\ }$ est son capital et $\xi_{n}$ tel que : $P(\xi_{n}=2)=P(\xi_{n}=0)=\ \frac{1}{2}$
$k^{}_{n+1}=\ (1-\alpha )\ k^{}_{n}\ +\ \alpha \ k_{n\ }\xi_{n}$

1 - Calculer par récurrence sur $n$ : $E(k^{2}_{n})$
2 - Que peut-on déduire sur la convergence dans $L^2$ de $k_n$ ?
3 - Déterminer le processus croissant $\left( \langle k\rangle_{n} \right)_{0\leq n} $ ?

marsup · May 2021

D'accord.

Et donc, tu en es où ?

diegau · May 2021

Je ne vois pas comment démarrer le calcul de $E\left( k^{2}_{n}\right) $.

gerard0 · May 2021

Bonjour.

Comme c'est une récurrence, on commence par calculer $E(k_0^2)$ en tenant compte du fait que c'est une constante (c'est le capital).
La formule de récurrence permet de calculer $E(k_{n+1}^2)$ en fonction de $E(k_n^2)$ (en utilisant les valeurs simples de $E(\xi_n)$ et $E(\xi_n^2)$ et l'indépendance des variables).

Cordialement.

diegau · May 2021

On obtient $\left( 1+\alpha^{2} \right)^{n} k_{0}$
Comme j'ai que $k_0=1$
$E\left( k^{2}_{n}\right) =\left( 1+\alpha^{2} \right)^{n} $
Il n'y a donc pas convergence de $k_n$ dans $L^2$

gerard0 · May 2021

Il manque un carré : $\left( 1+\alpha^{2} \right)^{n} k_{0}^{\color{red}2}$

À retenir. Il fallait simplement faire ce qui est dit (je n'ai fait que redire ce qui était conseillé). On était amené à se poser la question de l'indépendance, qui était évidente. Pour ma part, je n'ai jamais eu de cours de probas ou de stats (j'ai appris seul et enseigné !), donc ce que je conseille est généralement très accessible aux poseurs de question sur des exercices d'application.

Cordialement.

diegau · May 2021

D'accord, merci pour cette aide.
quelqu'un a-t-il un idée pour la question 3 ?

Convergence dans $L^2$

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