Preuve : convergence dominée stochastique

Je pense qu'il faut d'abord utiliser Cauchy Schwarz: à $p, n$ fixés, on a

$\mathbb{E}\left[\left\lvert\displaystyle \int_0^{T_p} H_s^n \,\mathrm{d}M_s - \int_0^{T_p} H_s \,\mathrm{d}M_s\right\rvert \, . \, 1_{\left[T_p = t\right]}\right]$

$\leq \sqrt{\mathbb{E}\left[\left(\displaystyle \int_0^{T_p} H_s^n \,\mathrm{d}M_s - \int_0^{T_p} H_s \,\mathrm{d}M_s\right)^2\right]} \sqrt{\mathbb{P}(T_p = t)}$

$\leq \sqrt{\mathbb{E}\left[\displaystyle \int_0^{T_p} \left(H_s^n - H_s\right)^2 \,\mathrm{d}\langle M\rangle_s\right]}\sqrt{\mathbb{P}(T_p = t)}$ par l'inégalité 5.14.

En particulier, on a $\mathbb{E}\left[\left\lvert\displaystyle \int_0^{t} H_s^n \,\mathrm{d}M_s - \int_0^{t} H_s \,\mathrm{d}M_s\right\rvert \, . \, 1_{\left[T_p = t\right]}\right] \leq \sqrt{\mathbb{E}\left[\displaystyle \int_0^{T_p} \left(H_s^n - H_s\right)^2 \,\mathrm{d}\langle M\rangle_s\right]}\sqrt{\mathbb{P}(T_p = t)}$.

Ensuite c'est un peu hasardeux mais j'utiliserais Fatou, à $n$ fixé, pour obtenir

$\mathbb{E}\left[\left\lvert\displaystyle \int_0^{t} H_s^n \,\mathrm{d}M_s - \int_0^{t} H_s \,\mathrm{d}M_s\right\rvert \right]$

$= \mathbb{E}\left[\lim \inf_p \left\lvert\displaystyle \int_0^{t} H_s^n \,\mathrm{d}M_s - \int_0^{t} H_s \,\mathrm{d}M_s\right\rvert \, . \, 1_{\left[T_p = t\right]}\right] $

$\leq \lim\inf_p \mathbb{E}\left[ \left\lvert\displaystyle \int_0^{t} H_s^n \,\mathrm{d}M_s - \int_0^{t} H_s \,\mathrm{d}M_s\right\rvert \, . \, 1_{\left[T_p = t\right]}\right] $

$\leq \lim \inf_p \left( \sqrt{\mathbb{E}\left[\displaystyle \int_0^{T_p} \left(H_s^n - H_s\right)^2 \,\mathrm{d}\langle M\rangle_s\right]}\sqrt{\mathbb{P}(T_p = t)}\right)$

$\leq \lim \inf_p \sqrt{\mathbb{E}\left[\displaystyle \int_0^{T_p} \left(H_s^n - H_s\right)^2 \,\mathrm{d}\langle M\rangle_s\right]}$ puisque $\lim \inf_p \mathbb{P}(T_p = t) = 1$ puis finalement


$\lim \sup_n \mathbb{E}\left[\left\lvert\displaystyle \int_0^{t} H_s^n \,\mathrm{d}M_s - \int_0^{t} H_s \,\mathrm{d}M_s\right\rvert \right] \leq \lim \sup_n \lim \inf_p \sqrt{\mathbb{E}\left[\displaystyle \int_0^{T_p} \left(H_s^n - H_s\right)^2 \,\mathrm{d}\langle M\rangle_s\right]}$.

Maintenant si on arrive à échanger ces deux dernières $\lim \sup_n \lim \inf_p$ ou même seulement montrer que $\lim \sup_n \lim \inf_p \leq \lim \inf_p \lim \sup_n$ on a gagné (convergence dans $L^1$ donc en proba) mais je ne crois pas que ça soit vrai...