Combinaison linéaire de Poisson

Ramufasa · May 2021

Bonjour à tous

Je dispose d'une famille $(y_i)_{i \leq n}$ de variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètre $\lambda_i$.
Je regarde la variable aléatoire $S = \sum_i a_i y_i$ où les $a_i$ sont des réels fixés.
Je cherche comment calculer la fonction de répartition de $S.$

Je me suis dit que j'allais déterminer la loi de $S$ en passant par les fonctions génératrices.
On a : $G_S(z) = G_{y_1}(z^{a_1}) \times G_{y_2}(z^{a_2}) \times ...$, et je suis donc ramené au calcul d'un produit de Cauchy à $n$ termes.
J'ai toutefois du mal à conclure ce calcul, notamment parce que les $a_i$ ne sont pas nécessairement entiers.
Quelqu'un pourrait-il me débloquer ou me donner une autre piste pour calculer la fonction de répartition de $S$ svp ?

Bien à vous,
Ram

Poirot · May 2021

Passer par la fonction caractéristique semble plus immédiat. Dans tous les cas, tu peux t'en sortir avec ta méthode, mais tu n'as nullement besoin de calculer un produit de Cauchy si tu connais la forme de $z \mapsto G_{y_i}(z)$, ça devrait être du cours.

marsup · May 2021

Je trouve que la question est assez surprenante.

Déjà, la fonction de répartition de la loi de Poisson n'a pas de forme fermée.

C'est $e^{-\lambda} \times \sum\limits_{k=0}^n \frac{\lambda^{k}}{k!}$, et à part ça...

Ensuite, si tes coefficients $a_i$ sont des réels quelconques, il n'est même pas clair de dire quel est le support de $S$.

Par exemple, pour $a_1 = \sqrt{2}$, et $a_2 = -1$, on a $S(\Omega) = \sqrt{2} \cdot \N - \N$, qui est dense, mais de mesure nulle dans $\R$.

Je te souhaite bien du plaisir pour exprimer la fonction de répartition.

Alors avec des $a_i$ quelconques et en nombre quelconque... J'ai peur qu'il n'y ait pas grand chose à espérer.

Ou alors j'ai mal lu la question ?

Ramufasa · May 2021

Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2240362,2240370#msg-2240370
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Effectivement, passer par la fonction caractéristique est immédiat. Je trouve $\phi_S(t) = e^{-\sum_i \lambda_i} e^{\sum_i \lambda_i e^{i a_i t}}$.
Comment alors remonter à la fonction de répartition ? Je reconnais presque une caractéristique de Poisson mais les coefficients $a_i$ me gênent.

Ramufasa · May 2021

marsup écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2240362,2240376#msg-2240376
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

J'avoue ne pas vraiment comprendre ta remarque sur la mesure de $S(\Omega)$. $S$ est à valeurs dans $\mathcal{R}$ mais prend un nombre discret de valeurs donc je ne vois pas le problème (une variable aléatoire de Poisson est à valeurs dans $\mathcal{N}$ qui est de mesure nulle par exemple). Je dois louper quelque chose d'évident...

marsup · May 2021

Ce que je veux dire, c'est qu'il n'y a sans doute rien à dire de non-trivial dans un contexte aussi général.

Par exemple $$P(\sqrt{2} X_1 - X_2 \le x) = \sum_{\sqrt{2} x_1 - x_2 \le x} e^{-\lambda_1 -\lambda_2} \times \frac{\lambda_1^{x_1}}{x_1!}
\times \frac{\lambda_2^{x_2}}{x_2!}$$
Une fois qu'on a dit ça, on est bien avancé !

Tu es sûr que tu as vraiment besoin de cette fonction de répartition ?

Est-ce que tu ne chercherais pas plutôt des intervalles de confiance, par hasard ? Ce serait beaucoup plus abordable et intéressant, à mon avis.

Ramufasa · May 2021

marsup
Ok, merci beaucoup, je comprends mieux ce que tu voulais dire.

En fait, je dispose d'une variable aléatoire (vectorielle) $X$ et je m'intéresse au risque bayésien $R(t) = P(S>t \mid X=x_0) + P(S \leq t\mid X=x_1)$, où les $y_i$ sont indépendants et de loi $\mathcal{P}((A X)_i)$ conditionnellement à $X$.

Je cherche à résoudre le problème suivant : $\max_{x_1 \text{proche de} x_0} \min_t R(t)$, d'où ma question, mais peut-être (sûrement) que je m'y prends très mal...

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Combinaison linéaire de Poisson

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7