Intégration sur des vecteurs aléatoires

Bonjour,
Voici mon exercice:
Soient X et Y, 2 vecteurs aléatoires de $\mathbb{R}^{d}$, indépendants et de même loi, tels que X+Y et X-Y sont indépendants.
J'aimerais montrer par la voie "de l'integration" que pour tout s et t $\in \mathbb{R}^{d}$, $E(e^{i \left\langle s;(X+Y) \right\rangle} e^{i \left\langle t;(X-Y) \right\rangle } )= E(e^{i \left\langle s;(X+Y) \right\rangle } )E(e^{i \left\langle t;(X-Y) \right\rangle } )$

J'arrive à faire ca:
$ E(e^{i \left\langle s;(X+Y) \right\rangle} e^{i \left\langle t;(X-Y) \right\rangle } )= \int_{\mathbb{R}^{2d}}^{} e^{i \left\langle s;x+y \right\rangle} e^{i \left\langle t;x-y \right\rangle} dP^{\left( X,Y \right)} $
En faisant un changement de variables Z=X+Y et W=X-Y (ce changement de variable est-il licite ? faut-il mettre un jacobien ?)
$ = \int_{\mathbb{R}^{2d}}^{} e^{i \left\langle s ; z \right\rangle} e^{i \left\langle t;w \right\rangle} dP^{\left( Z,W \right)} = \int_{\mathbb{R}^{d}}^{} e^{i \left\langle s ; z \right\rangle} dP^{Z } \int_{\mathbb{R}^{d}}^{} e^{i \left\langle t ; w \right\rangle} dP^{ W } $ puisque W et Z sont indépendantes
puis en refaisant le changement de variable inverse:
$ = \int_{\mathbb{R}^{2d}}^{} e^{i \left\langle s;x+y \right\rangle} dP^{\left( X,Y \right)} \int_{\mathbb{R}^{2d}}^{} e^{i \left\langle y;x-y \right\rangle} dP^{\left( X,Y \right)} $

Cette écriture n'est qu'une ébauche pour faire comprendre ce que j'aimerais bien faire mais je ne maitrise pas très bien tout cela. Quelqu'un peut-il m'aider a écrire cela correctement svp ? et à comprendre le cheminement ?
Merci
Nicolas