Wright-Fisher temps de fixation

Mrocdemorgat · May 2021

Bonjour.
Je cherche sans succès de la documentation de niveau CPGE sur l'estimation du temps moyen de fixation dans le modèle de Wright-Fisher.

Avec seulement des outils de CPGE, je voudrais montrer que :
1) ce temps de fixation T est presque-sûrement fini,
2) estimer E(T).

Si vous avez des références, je suis preneur. Merci d'avance.

marsup · May 2021

Bonjour,

Je viens de découvrir le modèle de Wright-Fisher, juste cette année.

1) ce temps de fixation T est presque-surement fini

ça, ça m'a l'air très facile.

C'est fait par une majoration grossière dans Agro-Véto 2021 http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?6,file=121278,filename=Agro_Veto_2021.pdf,download=1

2) estimer E(T).

Ça, j'ai l'impression que c'est franchement beaucoup plus costaud.

Il y a ces leçons Youtube de Nicolas Lanchier qui sont sympa (même si on n'entend rien) :

mais bon, c'est martingales et théorème d'arrêt. C'est dans la suivante 7/9 qu'il parle de l'estimation du temps de fixation ; son approche est hors de portée pour les prépas.

zazou · May 2021

Sympa ces vidéos @marsup. Je découvre aussi que le livre qui de l'auteur est téléchargeable gratuitement sur le site de Springer. J'ai vu en cours une preuve de la convergence des processus $(N^{-1}X_{\lfloor tN\rfloor})_{t\geq 0}$ qui était relativement délicate.

Pour répondre à la question initiale, ce document (§2.1.1) donne la borne inférieure $\mathbb{E}T\geq NH_0$. La présentation est accessible mais fait appel aux martingales/à la convergence dominée.

Une autre solution (facile) est de procéder numériquement à des estimations de $\mathbb{E}T$.

Wright-Fisher temps de fixation

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