Limite d'un produit
Bonjour
Soit $(x_{n}^{(k)})_{k,n\geq 1}$ une suite des réels positives satisfie $ x_{n}^{(k)}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 1 \ $ pour tout $k$.
Soit $S_{n}:=\prod_{k=1}^{n}x_{n}^{(k)}$
A-t-on que
$$ S_{n}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 1 \quad?
$$ Merci beaucoup.
Soit $(x_{n}^{(k)})_{k,n\geq 1}$ une suite des réels positives satisfie $ x_{n}^{(k)}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 1 \ $ pour tout $k$.
Soit $S_{n}:=\prod_{k=1}^{n}x_{n}^{(k)}$
A-t-on que
$$ S_{n}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 1 \quad?
$$ Merci beaucoup.
Réponses
-
Non.
$\prod \frac{n}{n+1} = \frac{1}{N+1} \to 0$. -
Les produits, c'est comme les séries, mais en pire !
-
Et même les produits convergents ; ils convergent vers leur limite, ils ne convergent pas vers 1.Sinon ce serait idiot !
-
Bonjour,
J'aime bien ce slogan "les produits, c'est comme les séries, mais en pire". :-) -
marsup bonsoir
Pour ton contre exemple peux-tu préciser ton $x_n^k$?
si ton $x_n^k=\frac k{k+1}$ on a bien $\prod_{k=1}^{n}x_{n}^k=\frac 1{n+1}$ mais on a pas $x_{n}^k
\longrightarrow_{n\longrightarrow \infty} 1$ pour tout k
si ton $x_n^k=\frac n{n+1}$, on aura $\prod_{k=1}^{n}x_{n}^k \longrightarrow_{n\longrightarrow \infty} 1/e$
Excuse moi si je délire : je suis à moitié endormiLe 😄 Farceur -
merci
-
Bonjour,
Soit $(X_{n})_{n\geq 1}$ une suite des v.a.r. strictement positives et $(\mathcal{F},\mathcal{F}_{n})_{n\geq 1}$ sa filtration naturelle vérifiant :$\mathcal{F}\subset \mathcal{F}_{n-1}\subset \mathcal{F}_{n}.$Soient
\begin{align*}
S_{n}^{(0)}&:=\sum_{k=1}^{n}X_{k} \\
S_{n}^{(1)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\sum_{k=2}^{n}\mathbb{E}(X_{k}|\mathcal{F}_{k-1}),\\
S_{n}^{(2)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\mathbb{E}(X_{2}|\mathcal{F})+\sum_{k=3}^{n}\mathbb{E}(X_{k}|\mathcal{F}_{k-2}), \\
S_{n}^{(m)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\cdots+\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F})+\sum_{k=m+1}^{n}\mathbb{E}(X_{k}|\mathcal{F}_{k-m}) \\
S_{n}^{(n-1)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\cdots+\mathbb{E}(X_{n-1}|\mathcal{F})+\mathbb{E}(X_{n}|\mathcal{F}_{1}),\\
S_{n}^{(n)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\cdots+\mathbb{E}(X_{n}|\mathcal{F}) .
\end{align*}Soit $$ \frac{S_{n}^{(0)}}{S_{n}^{(n)}}=\frac{S_{n}^{(0)}}{S_{n}^{(1)}}\frac{S_{n}^{(1)}}{S_{n}^{(2)}}...\frac{S_{n}^{(n-1)}}{S_{n}^{(n)}} $$
Supposons que
$$ S_{n}^{(n)}\longrightarrow_{n\rightarrow \infty}^{p.s.} \infty \qquad
\text{et}\qquad
\frac{S_{n}^{(m-1)}}{S_{n}^{(m)}}\xrightarrow[n\xrightarrow \infty]{p.s.} 1, \qquad 1\leq m\leq n .
$$ A-t-on que
$$ \frac{S_{n}^{(0)}}{S_{n}^{(n)}}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{p.s.} 1 \qquad ?
$$ Merci beaucoup. -
Bonjour
Soit $(a_{n})$ une suite des réels strictement positifs tq: $ 0<a_{n}<1$ et $ a_{n}\xrightarrow[n]{} 0 . $
$$ S_{n}:=(1-a_{n})(1-a_{n+1})\cdots(1-a_{2n}).
$$ Est-ce que $ S_{n}\xrightarrow[n]{} 1\qquad?$
Merci pour la réponse. -
Prendre comme exemple $a_n=\dfrac1{n+1}$ pour $n\geq1$.
-
Pourquoi reposer la même question sous une forme différente 4 heures après avoir eu la réponse ?
Pourquoi toutes ces questions basiques auxquelles on peut répondre en réfléchissant quelques minutes ? Et ces passages sans arrêt de questions sur des suites de variables aléatoire à des questions sur les suites réelles ? Pourquoi ne pas prendre le temps d'apprendre les bases sur les suites réelles (et les produits, qui s'y ramènent généralement grâce aux log) ?
Le comportement de collectionneur de résultats incompris est assez bizarre en maths.
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Bonjour!
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