Limite d'un produit

Bonjour,

Soit $(X_{n})_{n\geq 1}$ une suite des v.a.r. strictement positives et $(\mathcal{F},\mathcal{F}_{n})_{n\geq 1}$ sa filtration naturelle vérifiant :
Soient
\begin{align*}
S_{n}^{(0)}&:=\sum_{k=1}^{n}X_{k} \\
S_{n}^{(1)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\sum_{k=2}^{n}\mathbb{E}(X_{k}|\mathcal{F}_{k-1}),\\
S_{n}^{(2)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\mathbb{E}(X_{2}|\mathcal{F})+\sum_{k=3}^{n}\mathbb{E}(X_{k}|\mathcal{F}_{k-2}), \\
S_{n}^{(m)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\cdots+\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F})+\sum_{k=m+1}^{n}\mathbb{E}(X_{k}|\mathcal{F}_{k-m}) \\
S_{n}^{(n-1)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\cdots+\mathbb{E}(X_{n-1}|\mathcal{F})+\mathbb{E}(X_{n}|\mathcal{F}_{1}),\\
S_{n}^{(n)}&:=\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{F})+\cdots+\mathbb{E}(X_{n}|\mathcal{F}) .

\end{align*}Soit $$ \frac{S_{n}^{(0)}}{S_{n}^{(n)}}=\frac{S_{n}^{(0)}}{S_{n}^{(1)}}\frac{S_{n}^{(1)}}{S_{n}^{(2)}}...\frac{S_{n}^{(n-1)}}{S_{n}^{(n)}} $$

Supposons que
$$ S_{n}^{(n)}\longrightarrow_{n\rightarrow \infty}^{p.s.} \infty \qquad
\text{et}\qquad
\frac{S_{n}^{(m-1)}}{S_{n}^{(m)}}\xrightarrow[n\xrightarrow \infty]{p.s.} 1, \qquad 1\leq m\leq n .

$$ A-t-on que
$$ \frac{S_{n}^{(0)}}{S_{n}^{(n)}}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{p.s.} 1 \qquad ?

$$ Merci beaucoup.