Proba agro

Tiens en passant, je remarque que, là encore, les questions 6c et 6d sont vraiment maladroites.

La suite $(u_n)$ est croissante par l'inégalité, et majorée par 1 (probabilités).

Donc elle converge et sa limite ne peut pas être autre chose que 1.

Pas besoin d'étudier la suite arithmético-géométrique $w_n$, surtout que l'inégalité $u_n \ge w_n$ nécessite encore une récurrence !
(Je pense que c'est juste pour le plaisir de faire résoudre une suite arithmético-géométrique aux candidats)

Ah bah, c'est la formule des probabilités totales.

Tu as
$$
\begin{align*}
P(X_{n+1} = 0 \text{ ou } 2N) & = \overbrace{P(X_{n+1} = 0 \text{ ou } 2N | X_n = 0 \text{ ou } 2N)}^{=1}\times P(X_n = 0 \text{ ou } 2N)
\\
& \qquad + \sum_{k=1}^{2N-1} P(X_{n+1} = 0 \text{ ou } 2N | X_n = k) \times P(X_n = k) \\
& \ge P(X_n = 0 \text{ ou } 2N)
+ \sum_{k=1}^{2N-1} 2 \times \big(\frac{1}{2N}\big)^{2N} \times P(X_n = k) \\
& = P(X_n = 0 \text{ ou } 2N) + 2 \times \big(\frac{1}{2N}\big)^{2N} \times \big(1-P(X_n = 0 \text{ ou } 2N) \big) \\
\end{align*}
$$