Petite question sur un calcul d'espérance
Bonjour
Je ne comprends pas une égalité dans un exercice de probabilités, voici l'énonce (sans les questions).
Soient $\gamma$ et $\mu$ deux réels strictement positifs, et soient $X$ et $Y$ deux v.a. à valeurs dans $\N$ et $\R^+$ respectivement telles que, pour tout $n \in \N$ et tout $t \in\R^+,\
P(X = n; Y \le t) = \displaystyle \mu\int_{0}^{t} \frac{(\mu\gamma)^n}{n!}\exp^{-(\mu+\gamma)y} \, \mathrm{d}y$.
Dans le corrigé on a cette égalité un moment.
$E[Y1_{X=n}] = \displaystyle \mu\int_{0}^{\infty} y\frac{(\mu\gamma)^n}{n!}\exp^{-(\mu+\gamma)y} \, \mathrm{d}y$.
Pourquoi ?
Merci d'avance pour la réponse.
Je ne comprends pas une égalité dans un exercice de probabilités, voici l'énonce (sans les questions).
Soient $\gamma$ et $\mu$ deux réels strictement positifs, et soient $X$ et $Y$ deux v.a. à valeurs dans $\N$ et $\R^+$ respectivement telles que, pour tout $n \in \N$ et tout $t \in\R^+,\
P(X = n; Y \le t) = \displaystyle \mu\int_{0}^{t} \frac{(\mu\gamma)^n}{n!}\exp^{-(\mu+\gamma)y} \, \mathrm{d}y$.
Dans le corrigé on a cette égalité un moment.
$E[Y1_{X=n}] = \displaystyle \mu\int_{0}^{\infty} y\frac{(\mu\gamma)^n}{n!}\exp^{-(\mu+\gamma)y} \, \mathrm{d}y$.
Pourquoi ?
Merci d'avance pour la réponse.
Réponses
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Bonjour
Par définition $E[Y1_{X=n}] =?$Le 😄 Farceur -
Bizarre cette loi de proba dont la masse totale n'est pas $1$. Et si tu avais mal recopiè ? Ce pourrait etre $$\mu\int_0^t\frac{(y\gamma)^n}{n!}e^{-(\mu+\gamma)y}dy\quad ?$$ Alors $Y$ serait de loi exponentielle de moyenne $1/\mu$ et $X$ sachant $Y$ suivrait une loi de Poisson de moyenne $\gamma Y\ ?$ Etc, on aurait pour $X$ la loi géométrique $$\Pr(X=n)=\left(\frac{\gamma}{\gamma+\mu}\right)^n\frac{\mu}{\gamma+\mu}$$ et pour $Y$ sachant $X$ une loi gamma de paramètres $(X+1, \mu+\gamma).$
-
oui j'ai effectivement mal recopié, c'est bien ça !
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gebrane écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2242638,2242650#msg-2242650
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
C'est justement ma question (ça fait un peu de temps que je n'ai pas fait de proba donc j'ai un peu du mal). -
Je pense que gebrane pense à une formule du genre :
$E[Y \times 1_{X=n}] = P(X=n) \times E_{X=n} [Y]$.
Tu as la fonction de répartition conditionnelle de $Y$ sachant $[X=n]$. (enfin ici tu l'as $\times P(X=n)$)
Il n'y plus qu'a écrire $E[Z] = \int z \times F_Z(z)' dz$. -
marsup
Effectivement merci, c'est très clair !
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Ok, Peux-tu retrouver la formule de $P$ sur le calcul de $P(X=n)$ ?Le 😄 Farceur
-
Mentionnons une intéressante transformée de la loi de $(X,Y)$ qui est
$$\mathbb{E}(z^Xe^{-sY})=\frac{\mu}{s+\mu+\gamma-\gamma z}.$$ Cette loi jointe est décrite page 1835 dans 'The $2d+4$ simple quadratic natural exponential families of $\R^d$'. Muriel Casalis 1996 (Annals of Statistics vol 24 (4), 1828-1854).
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