Probabilités conditionnelles

Bonjour à tous !

Je travaille en ce moment un cours de probabilités et de statistiques bayésiennes, et je rencontre quelques difficultés quant au calcul d'un risque bayésien.

Je me place dans un cadre bayésien classique et je note $\pi$ la loi a priori sur mon paramètre $\theta$, $P_{\theta}$ la loi conditionnelle de mes observations conditionnellement au paramètre $\theta$ et $\pi(.|X)$ la loi a posteriori et je suppose que toutes ces lois sont à densité par rapport à une mesure de référence sur l'espace des $\theta$ et des $X$ respectivement (mais cela n'intervient pas dans mon calcul).

Étant donné un estimateur $T : X \mapsto T(X) \in \Theta$, je définis sa fonction risque par $\theta \mapsto R(\theta, T) = E[(l(\theta, T(X)) |\theta ]$ où $l$ est une fonction de perte donnée. Je définis alors le risque bayésien de $T$ comme $R(T) = E_{\pi}[R(\theta, T)]$, et un estimateur bayésien comme un estimateur minimisant le risque bayésien (une loi a priori étant fixée au préalable), et le risque bayésien pour l'estimation de $\theta$ comme le risque bayésien d'un estimateur bayésien.

Maintenant, je souhaite appliquer calculer le risque bayésien pour l'estimation d'un paramètre $\theta$ dans un cas particulier.

La loi a priori est donnée par $\frac{1}{2} (\delta_{\theta_0} + \delta_{\theta_1})$ et après calcul, la loi a posteriori est donnée par $\frac{f_{\theta_1}}{f_{\theta_0} + f_{\theta_1}} \delta_{\theta_1} + \frac{f_{\theta_0}}{f_{\theta_0} + f_{\theta_1}} \delta_{\theta_0}$.

Je considère la perte binaire $l(x,y) = 1_{x \ne y}$. Minimiser le risque bayésien revient donc (après calculs) à minimiser $P(T(X) \ne \theta)$.
J'introduis alors $\eta(X) = P(\theta = \theta_1 | X)$ et j'arrive à montrer que $T(X) = \theta_1 1_{\eta > 0.5} + \theta_0 1_{\eta < 0.5}$ est un estimateur bayésien, ce qui d'ailleurs se comprend bien intuitivement. Il ne me reste plus qu'à calculer son risque pour trouver le risque bayésien associé à l'estimation de $\theta$.

J'ai fait plein de calculs et j'arrive à plusieurs expressions pour ce risque. Néanmoins, le corrigé donne : $R_{\text {bayes }}\left(\theta_{1}\right)=\frac{1}{2} E_{\theta_{0}}\left(\frac{f_{\theta_{1}}(X)}{f_{\theta_{0}}(X)+f_{\theta_{1}}(X)}\right)+\frac{1}{2} E_{\theta_{1}}\left(\frac{f_{\theta_{0}}(X)}{f_{\theta_{0}(X)}+f_{\theta_{1}}(X)}\right)=E_{\theta_{0}}\left(\frac{f_{\theta_{1}}(X)}{f_{\theta_{0}}(X)+f_{\theta_{1}}(X)}\right)$, et je n'arrive pas à la même expression.

Je sollicite donc votre aide pour mener à bien ce calcul.

Bien cordialement,
Ram