min et max de suite de variables aléatoires

tgbne
tgbne
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour

Soit X une variable aléatoire de densité f(x) = e-(x-a)1x>=a,
avec a réel strictement positif. Je cherche à déterminer le minimum et le maximum d'une suite (Xi) de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X.

J'ai calculé la fonction de répartition de X. Ma réponse.
FX(x) = P(X<=x) = (intégrale de a à x) e-(t-a)1t>=a dt = -e-(x-a) + 1
Déjà, est-ce que ce résultat est correct ?

On pose ensuite X(n) et X(1) les maximum et minimum des variables X1,..., Xn. Et c'est là où je bloque.
Je me suis aidée de la vidéo :
Intuitivement, je pensais à utiliser la décroissance de la fonction f(x)=e-(x-a) sur [a;+oo[ mais sans conviction.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Je vous remercie.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Oui, ta fonction de répartition est correcte ou presque. Il faut multiplier par $1_{t\le a}$ puisqu'elle est nulle pour t<a. Tu pouvais facilement vérifier avec la limite à l'infini.

    Pour la suite, a-t-on bien $X_{(n)}=\max(X_1,X_2, ... X_n)$ ? Et donc $X_{(1)}=\min(X_1,X_2, ... X_n)$. Il s'agit donc de la variable aléatoire maximum (ou minimum) des réalisations. La fonction de répartition de $X_{(1)}$ est facile à trouver :
    $P(X_{(n)}\le t) = P(X_1\le t \text{ et } X_2\le t\text{ et } ...\text{ et } X_n\le t)$

    Bon travail !

    NB : je n'ai pas regardé ta vidéo, je préfère toujours penser par moi-même. Et vu ce que tu en dis ... j'ai bien fait : la décroissance n'a rien à voir avec la question.
  • tgbne
    tgbne
    Pour l'idée de la décroissance de la fonction, c'était juste une intuition de ma part et elle n'est pas bonne. Ce n'est pas sur la vidéo.

    Ma réponse.
    On a X(n) = max(X1,...,Xn)
    P(X(n)<=x) = P(X1<=x et X2<=x...Xn<=x)
    Par indépendance,
    P(X(n)<=x) = P(X1<=x)P(X2<=x)...P(Xn<=x)
    Sachant que X1,...,Xn sont de même loi que X,
    P(X(n)<=x) = (P(X1<=x))n = (P(X<=x))n
    On en déduit
    FX(n)(x) = P(X(n)<=x) = ( (intégrale de a à x) e-(t-a)1t>=a dt)n
    FX(n)(x) = (-e-(x-a) + 1)n1t<=a
    - Pour X(1) = min(X1,...,Xn), on a
    P(X(1)>x) = P(X1>x et X2>x ... Xn>x)
    Par indépendance et même loi que X,
    P(X(1)>x) = (P(X1>x))n = (P(X>x))n
    et donc,
    FX1(x) = P(X(1)>x) = 1 - (1 - P(X<=x))n = 1 - (1 - FX(n)(x))n = 1 - (e-(x-a))n1t<=a

    Est-ce que c'est correct ? Ensuite, avant de passer aux estimateurs que je connais encore très mal, je dois calculer P(X(n)<=x;X(1)>=y) pour tout x,y. Ce que je ne sais pas encore faire.
  • marsup
    marsup
    Bonjour,
    Est-ce que c'est correct ?
    C'est un peu difficile de lire ce que tu écris, mais j'ai l'impression que c'est bien ça.
    je dois calculer P(X(n)<=x;X(1)>=y) pour tout x,y
    Dire que $X_{(n)} \le x$ et que $X_{(1)} \ge y$, ça signifie que toutes les valeurs sont comprises entre $y$ et $x$.
  • gerard0
    gerard0
    Tgbne :

    Je n'ai pas vu non plus de problème. Ton " P(X(n)<=x;X(1)>=y) ", c'est P(X(n)<=x et X(1)>=y) ou bien P(X(n)<=x / X(1)>=y) la proba conditionnelle ?

    Cordialement.
  • tgbne
    tgbne
    C'est P(X(n)<=x et X(1)>=y).

    Ma réponse :

    Par indépendance,

    P(X(n)<=x;X(1)>=y) = P(X(n)<=x)*P(X(1)>=y)

    puis,

    P(X(n)<=x;X(1)>=y) = ((-e-(x-a)+1)n1t<=a)*(1-(1-(e-(x-a))n)1t<=a) = (-e-(x-a)+1)n*(e-(x-a))n1t<=a

    (car P(X(1)>x = 1 - (e-(x-a))n1t<=a)

    finalement,

    P(X(n)<=x;X(1)>=y) = (-e-2(x-a) + e-(x-a))n1t<=a

    Est-ce correct ? Ensuite je dois déduire la loi du couple (X(1),X(n)).
  • marsup
    marsup
    Par indépendance,
    :-S

    Par indépendance de quoi ?

    $X_{(1)}$ et $X_{(n)}$ ne sont pas du tout indépendantes, puisqu'on a $X_{(1)} \le X_{(n)}$.
  • gerard0
    gerard0
    Pas mal, ce résultat où y n'intervient pas ! Ni nulle part que si y<x, la proba est nulle.
    Et Marsup a donné une indication pour rien !

    Cordialement.
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