Convergence de v.a.r et analyse

Salut,

J'essaye quelque chose. En notant $D:=\bigcup_{n\geq 0} D_n$, on fait la remarque suivante
$$\liminf_{t\uparrow\infty} X_t = \lim_{t\uparrow\infty} \inf_{s\geq t}X_s= \lim_{t\uparrow\infty} \inf_{s\in D, s\geq t} X_s = \liminf_{t\uparrow\infty, \in D}X_t$$ On peut écrire la même chose pour la $\limsup$ et on trouve donc
$$\liminf_{t\uparrow\infty} X_t=\liminf_{t\uparrow\infty, t\in D} X_t = \limsup_{t\uparrow\infty, t\in D}X_t = \limsup_{t\uparrow\infty}X_t$$ Ce qui permet de conclure immédiatement.

Quelques détails complémentaires. La remarque découle du fait qu'à $t\geq 0$ fixé, on a $\inf_{s\in D, s\geq t} X_s= \inf_{s\geq t}X_s$. En effet, une des deux inégalités est évidente. Pour l'autre sens, notons $m:=\inf_{s\geq t} X_s$. Par définition, pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe $r_n\geq t$ tel que $X_{r_n}\in [m, m+2^{-(n+1)}]$. Par continuité à droite, il existe $d_n\in D$ avec $d_n\geq r_n\geq t$ tel que $|X_{d_n} - X_{r_n}| \leq 2^{-(n+1)}$. On a donc
$$\inf_{s\geq t, s\in D}X_s \leq X_{d_n} \leq m+2^{-n}$$ L'inégalité s'obtient en faisant $n\uparrow\infty$.

Raro, si j’étais toi je chercherais une autre démonstration de ce théorème sur le net , livres. Pour voir clairement les choses. Il y a cette hypothèse que tu n'as pas traduit lorsque tu as posé ta question en analyse, la sous martingale est supposé bornée dans L^1, comment traduire cela dans le cadre discret de ton f(k/2^n)

Tu ne cherches pas bien regarde
2.5 Théorèmes de convergence