Convergence loi gamma

Tu peux invoquer le théorème central limite, ou étudier le comportement asymptotique de la fonction caractéristique de la loi.

La formulation de l'article Wikipedia est trompeuse car la convergence en loi n'a de sens qu'après renormalisation.

La loi $\Gamma(k,\theta)$ est la loi de $S_k = X_1 + \cdots + X_k$ où les $(X_1,\dots,X_k)$ sont indépendantes et de même loi $\Gamma(1,\theta)$. En vertu du théorème central limite, on a convergence en loi de $Z_k = \frac1{\sqrt k}(S_k - k\theta)$ vers la loi $\mathcal N(0,\theta^2)$ lorsque $k\to+\infty$.

On en déduit alors facilement la convergence en loi de $\frac1{\sqrt{k-1}}(S_k - (k-1)\theta) = \sqrt{\frac{k}{k-1}}(Z_k + \frac{\theta}{\sqrt k})$.