Oral ESCP 2009

Gon
Gon
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir
Je sèche sur cet oral de probabilités, je crois que mon problème se trouve certainement au niveau de l'interprétation que je me fais du sujet, pour cela, je vais d'abord expliquer ce que je comprends.
On réalise une succession infinie d'épreuves indépendantes qui consiste à envoyer un message via un serveur qu'on choisit indépendant soit le serveur $A$ ou le serveur $B$. Déjà à ce niveau, je considère deux variables aléatoires $X_{i}$ et $Y_{i}$ qui suivent des lois de Bernoulli de paramètre $p$ et $1-p$ avec $i$ entier naturel.
De plus on s'intéresse à la variable aléatoire $L_{1}$ qui compte la longueur de la première série qui est en effet le nombre de fois qu'on utilise un serveur avant de le changer durant le prochain envoie.
J'introduis alors $S_{A}$ et $S_{B}$ qui sont des sommes de variables aléatoires respectives de $X_{i}$ et $Y_{i}$.
Mon problème se trouve dans la manière d'introduire $L_{1}$ puisque $L_{1}$ peut compter le nombre de fois qu'on utilise le serveur $A$ ou $B$ durant un certain nombre d'expérience sans changer de serveur.
Pour cela, je pose que $L_{1}=S_{A}\mathbb{1_{ S_{A}=l }}+S_{B}\mathbb{1_{ S_{B}=l }}$ où $l \in \mathbb{N^{*}}$ donc $L_{1}$ compte bien la longueur du premier message si j'ai bien interprété évidemment.122876
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Réponses

  • Gon
    Gon
    Je veux dire que j'ai $[L_{1}=l]=S_{A}\mathbb{1_{ S_{A}=l }}+S_{B}\mathbb{1_{ S_{B}=l }}$ où $l \in \mathbb{N^{*}}$
  • marsup
    marsup
    Bonjour,

    Si jamais (avec probabilité $p$) on commence par un $A$, la loi de $L_1$ est géométrique : $\mathcal{G}(q)$.

    Si jamais (avec probabilité $q$) on commence par un $B$, la loi de $L_1$ est géométrique : $\mathcal{G}(p)$.

    En tout, la loi de $L_1$ est donc le mélange des deux $P(L_1 = k) = p^k \times q + q^k \times p$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Pourquoi faut-il deux variables de Bernoulli pour chaque lettre ? Bien sûr, on peut poser $Y_i=1-X_i$ mais bon, ça n'a pas l'air indispensable.
  • Gon
    Gon
    Bonsoir
    marsup, donc avec ce que tu dis mon interprétation tombe à l'eau? dommage quand même mais j'ai compris ton raisonnement
    math Coss oui c'était aussi possible de le faire aussi comme ça
  • Gon
    Gon
    marsup, je pense que mon raisonnement tient le coup car ici je pensais déjà au fait que puisqu'on réalise les expériences suivant un ordre, le nombre de configurations d'avoir $A$ ou $B$ est 1 donc le coefficient binomial disparaît dans la formule de $S_{A}$ ou $S_{B}$.
  • Gon
    Gon
    Mais je crois qu'il y aura un problème dans ma formulation car je trouve que si $[L_{1}=k]$ par exemple avec le choix de $A$, j'ai $[S_{A}=k]=p^{k}$
  • marsup
    marsup
    Je n'avais pas trop lu ce que tu disais, mais maintenant que j'ai lu, je ne comprends pas ce que tu appelles $S_A$, au juste. Je n'ai pas l'impression que tu aies donné une définition.
  • Gon
    Gon
    Je disais J'introduis alors $S_{A}$ et $S_{B}$ qui sont des sommes de variables aléatoires respectives de $X_{i}$ et $Y_{i}$, c'est-à-dire des variables aléatoires suivant la loi binomial de paramètres respectives $(l,p)$ et $(l,1-p)$
  • marsup
    marsup
    Ce n'est pas une définition, ça !

    Concrètement : $S_A ={}$ quoi ?
  • Gon
    Gon
    $S_{A}=\sum_{i=0}^l {X_{i}}$ et $S_{B}=\sum_{i=0}^l {Y_{i}}$
  • marsup
    marsup
    D'accord, mais alors, $\ell$, c'est quoi ?
  • Gon
    Gon
    $l$ c'est la valeur de $L_{1}$
  • marsup
    marsup
    :-D
  • marsup
    marsup
    Ok, donc $S_A = \sum_{k=1}^{L_1} X_k$ ?

    Donc $S_A = L_1$ si on commence par $A$ et 0 sinon.
  • marsup
    marsup
    Mais $S_A$ n'est pas du tout binomiale. Même conditionnellement à si on commence par $A$ ou $B$.
  • Gon
    Gon
    Oui exactement, c'est ce que je pense.

    Edit: je n'avais pas vu ton dernier message
  • Gon
    Gon
    Je pensais qu'elle était puisque je dis que $X_{i}$ suit une loi de Bernoulli, donc on a succès si on a $A$ et échec sinon, seulement que le nombre de configurations càd d'avoir $A$ ici est 1 puisqu'on réalise les événements selon un ordre qu'on considère (elle a de l'importance je veux dire donc on a une seule configuration possible d'avoir une suite de $A$ )
  • marsup
    marsup
    Oui, mais le nombre de lancers n'est pas fixé.

    Justement, il dépend des résultats des lancers.

    Donc ça ne colle pas du tout avec la loi binomiale.

    D'ailleurs $S_A$ n'est pas bornée. On peut très bien avoir $S_A =$ un million.
  • Gon
    Gon
    Oui, c'est vrai dans le cas de la loi binomiale, on a une suite finie de lancers 8-)
  • marsup
    marsup
    Pour calculer ta covariance, tu vas avoir le droit d'utiliser la formule de la covariance totale :

    https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_covariance

    Je me demande comment les candidats de prépa éco étaient censés calculer cette covariance.
  • Gon
    Gon
    On passe directement par la définition $cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ avec la manipulation d'une série double :-D.
    Bon je ne suis pas en prépa éco, j'utilise juste les sujets de proba de cette prépa pour travailler
  • Gon
    Gon
    En revenant à ton raisonnement, si je ne me trompe pas , tu considère que si on commence par $A$, on peut dire que $L_{1}$ va compter le nombre d'échecs avant le succès qui est $B$ et réciproquement si on commence par $B$.
    Donc on a $[L_{1}=k]=A_{1}...A_{k}B_{k+1} \cup B_{1}...B_{k}A_{k+1}$
  • marsup
    marsup
    Oui, c'est ça. Tu es d'accord ?
  • Gon
    Gon
    Oui je suis d'accord de même, $[L_{1}=k,L_{2}=j]=A_{1}...A_{k}B_{k+1}...B_{k+j}A_{k+j+1} \cup B_{1}...B_{k}A_{k+1}...A_{k+j}B_{k+j+1}$ avec comme interprétation: si on commence par $A$, $L_{1}$ compte d'abord le nombre d'échecs avant le premier succès à savoir $B$ et $L_{2}$ compte le nombre de succès avant le premier échec qui est ici $A$ et réciproquement
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