Blitz aux échecs

Bonjour,
C'est arithmétiquement impossible ton truc : $\forall (g,n)\in\Bbb N^2, \,700\times\frac23\neq g+\frac{n}2$ puisque $700\wedge3=1$. :-S

NB: si les $(X_n)_{n \geq 0}$ sont une suite de variables iid dans un groupe fini $(G,\cdot)$ et si les éléments d'un système générateur de $G$ sont tous de probabilité non nulle pour la loi de $X_1$ (i.e. tous potentiellement réalisables par un tirage) alors le produit $n\mapsto Y_n:=\prod_{i=1}^n X_i$ converge en probabilité vers une loi uniforme sur $G$ (l'entropie $n\mapsto H_n:= \sum_{g \in G} -P(Y_n=g)\log \left (P(Y_n=g) \right)$ est croissante en $n$ via Gibbs -ou Jensen si vous ne savez pas ce que c'est. Quelle peut être sa limite?)
Ici on a $G:=(\Z / 7\Z)^3$ muni de l'addition.

@Foys : tu t'es trompé de fil ? :-S

Désolé, Gilles,

mais "évaluer la probabilité" d'un événement passé qui n'avait rien d'aléatoire me semble être du vocabulaire de journaliste ou de non matheux si tu préfères. Et comme il y a une infinité de façon de coller arbitrairement une expérience probabiliste ...
Foys en a choisi une, si elle te va, tu as ton résultat.
Mais la probabilité des coïncidence est vraiment une fausse idée : On ne voit les coïncidences que quand il y en a ! Voir la célèbre "loi des séries" dont on ne parle jamais quand l'événement est unique.

Cordialement.

Même si on choisit de modéliser l'affaire par une suite de v.a. i.i.d., il manque des paramètres : les probas a priori qu'une partie soit une victoire, une défaite ou nulle. En notant ces trois probas $p_g, p_d, p_n$, la proba que les nombres de victoires, défaites ou nulles (notés $k_v,k_d,k_n$) soient divisibles par 7 sachant que le score est 66,5% est $$\Bigg[\sum_{\substack{k_v+k_d+k_n=700\\ k_v+k_n/2=700\times 0{,}665\\ k_v\equiv k_d\equiv k_n \equiv 0\,[7]}} \binom{700}{k_v,k_d,k_n} \, p_v^{k_v} p_d^{k_d} p_n^{k_n} \Bigg] \div \Bigg[\sum_{\substack{k_v+k_d+k_n=700\\ k_v+k_n/2=700\times 0{,}665}} \binom{700}{k_v,k_d,k_n} \, p_v^{k_v} p_d^{k_d} p_n^{k_n} \Bigg].$$ Cette quantité dépend de $(p_g, p_d, p_n)$, qui peut être choisi de pleins de manières différentes ("Et comme il y a une infinité de façon de coller arbitrairement une expérience probabiliste ...", comme disait Gérard). Et le même problème se pose aussi pour ta dernière question, Gilles.
On peut essayer de faire un choix raisonnable de ces paramètres, mais ça n'est pas évident. Doit-on prendre $p_g= p_d= p_n=\frac13$ ? Doit-on les prendre égaux aux fréquences de victoires, défaites et nulles observées ? Mais dans ce cas, on se mort un peu la queue parce qu'on décide à la fin de l'expérience "aléatoire" quelles en étaient les probas. À la limite pour ta deuxième question sur deux parties supplémentaires, ça pourrait faire plus sens... (Au passage, le score de 66,5% n'est pas suffisant pour connaître ces fréquences.)

PS: Ça c'est pour calculer la proba avec exactitude. Les approches asymptotiques n'ont pas ce problème, mais elles sont moins précises.

L'approximation $1/7^2$ est acceptable, parce que 7 est ''petit''.
Si on reprend l'hypothèse : J'ai une probabilité de 17% de faire Nulle, la valeur la plus probable, c'est de faire 119 Nulles , mais les probabilités de faire 118 Nulles, ou 117 , 116... sont assez voisines. Donc dire que la probabilité de faire Nulle, c'est 1/7, c'est une approximation qui marche.

Son on demandait la probabilité que les 3 nombres G,N et P soient multiples de 70, ça ne marcherait plus du tout.
Les multiples de 70 sont trop rares... et n'ont pas la bonne idée d'être bien répartis autour de 119.

Au départ, pour arriver à ce 66.5, j'étais parti de 50% de parties Nulles, et donc 42% de victoires et 8% de défaites.
Mais ces proportions sont réalistes pour des parties longues, mais pas pour des blitz.
La proportion de Nulles est beaucoup plus faible en blitz.
Et j'ai donc estimé à 58% de Gain, 17% de Nulles et 23% de Défaites.

Mais on le voit, ces considérations ne sont pas du domaine des maths, elles sont du domaine des échecs.